Prueba $v_1,v_2,\cdots,v_m $ son linealmente independientes.

Question

$\Bbb{E}^n$ es un espacio euclidiano de dimensión $n$ . $v_0,v_1,\cdots,v_m\in \Bbb{E}^n,m\le n $ y $(v_i,v_j)\lt0$ para $0\le i\ne j\le m$ . Prueba $v_1,v_2,\cdots,v_m $ son linealmente independientes.

Mi intento: Traté de hacer un argumento como este, si $v_1,v_2$ son linealmente dependientes, entonces existe $a_1$ tal que $v_2=a_1v_1$ entonces $(v_2,v_2)=a_1(v_2,v_1)$ . Al principio pensé que la mano izquierda $\ge 0$ la mano derecha $\lt0$ . Pero noto que la constante $a_1$ también podría ser negativo. Por lo tanto, esta contradicción fracasó.
Cualquier sugerencia sería útil.

Answer 1

Algunas pistas:

Supongamos que aplicamos el proceso de Gram-Schmidt a $v_1, \ldots, v_m$ para obtener una secuencia de vectores ortogonales $w_1 = v_1$ , $w_2 = v_2 - \frac{\langle v_2, w_1 \rangle}{\langle w_1, w_1 \rangle} w_1$ , $\ldots$ . Entonces podemos escribir $w_j = c_{1j} v_1 + c_{2j} v_2 + \cdots + c_{jj} v_j$ para algunos escalares $c_{ij}$ . ¿Puede demostrar que cada $c_{ij} > 0$ ?

Ahora, si $v_1, \ldots, v_m$ es linealmente dependiente, entonces tendremos $w_j = 0$ para algunos $j$ por lo tanto, una combinación lineal de $v_1, \ldots, v_j$ con coeficientes estrictamente positivos da 0. A partir de aquí, ¿puedes ver una forma de derivar una contradicción?

Answer 2

Estás afirmando que la matriz de Gram de los vectores es invertible. Pero todo lo que sabemos de esa matriz simétrica es que todas las entradas son negativas excepto las diagonales, que son positivas. Eso no es suficiente para ser invertible.