¿Cómo podría $\varnothing$ ser única si puede ser vacuamente falsa?

Question

El argumento que la gente utiliza para demostrar que el conjunto vacío es único es que: Sea $A$ y $B$ sean dos conjuntos vacíos, entonces $\forall z : z \in A \implies z \in B$ ya que no existe tal $x\in A$ por lo que esta afirmación es vacuamente cierta. También lo contrario es cierto, por lo tanto $A=B$ . Mi objeción es que podríamos haber dicho igualmente $\forall z : z \in A \implies z \notin B$ y, por lo tanto, concluye que $A\neq B$ .

Answer 1

Pero no es así como se niega $A = B$ . Para que dos conjuntos no sean iguales, hay que encontrar realmente un elemento que está en uno de los dos conjuntos y no en el otro. La negación de una afirmación que empieza por $\forall$ es una declaración que comienza con $\exists$ . Y si se afirma con cuidado " $A\neq B$ " con los cuantificadores e implicaciones correctas, y asumir $A$ y $B$ son ambos conjuntos vacíos, entonces se encontrará que $A\neq B$ en realidad no es cierto.

Answer 2

Sí, es cierto, $\forall z:z\in A\implies z\notin B$ . Y, por el mismo argumento, $\forall z:z\in B\implies z\notin A$ . Pero todo lo que se deduce de esto es que $A\cap B=\emptyset$ . No hay ninguna contradicción.

Answer 3

Dos conjuntos son diferentes si al menos uno de ellos tiene un elemento que el otro no tiene. Si hay dos conjuntos vacíos diferentes entonces al menos uno de ellos tiene al menos un elemento que el otro no tiene, pero eso no es cierto ya que ninguno de ellos tiene elementos, por lo que todos los conjuntos vacíos son iguales, por lo que sólo hay un conjunto vacío.

Answer 4

La objeción planteada aquí es interesante y permite, una vez respondida, expresar una afirmación paradójica pero verdadera sobre los conjuntos vacíos: dos conjuntos vacíos son necesariamente idénticos, y disjuntos .

Su razonamiento es el siguiente :

(1) A y B son conjuntos vacíos

(2) para cualquier objeto arbitrario x, el enunciado "x pertenece a A --> x no pertenece a B" es verdadero para el antecedente es falso y el consecuente es verdadero ( y en el caso falso-verdadero, un enunciado condicional es verdadero)

(3) por lo tanto, A y B son disjuntos (su intersección es vacía)

(4) por lo tanto, A y B son distintos

El error está en la inferencia de (3) a (4) El hecho de que la intersección de A y B esté vacía hace que no significa que :

             for all x , ( x belongs to A <--> x belongs to B ) is false, 

en otras palabras, hace no significa que :

hay un x tal que (x pertenece a A pero no a B O x pertenece a B pero no a A).

La afirmación (3) de que A y B son disjuntos significa simplemente que :

            for all x , ~ ( x belongs to A & x belongs to B) 

Nota. La forma de las frases no es la misma. Compara:

(1) " ~ para todo x, phi(x) "

y

(2) " para todo x , ~ phi (x) "

Nota. La objeción planteada en este post se basa en el antiguo cuadrado de las oposiciones. Pero la teoría de conjuntos se basa en el cuadrado de oposiciones moderno. ( Ver : https://plato.stanford.edu/entries/square/ )

Si se aplicara el antiguo cuadrado de las oposiciones a los conjuntos, se obtendría el siguiente diagrama, pero este diagrama NO ES CORRECTO en el contexto de la teoría de conjuntos