¿Cómo puedo probar que esta secuencia converge a 1?

Question

Suponga que $0<a<1$ y defina $a_n=(1+a^n)^n$ , muestre ese $a_n \to 1$ usando la expansión binomial en cada $a_n$ y compare con una suma geométrica.

Sé cómo calcular el binomio en $a_n$ pero estoy realmente confundido por "usar la expansión binomial en cada $a_n$ y compararla con una suma geométrica".

Answer 1

Supongo que han significado "comparar con una suma geométrica", esto es lo que puedes hacer:

\begin{align} (1+a^n)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{nk} = \sum_{k=0}^n \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!} a^{nk} \le \\ &\le \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}a^{nk} \le \sum_{k=0}^n n^ka^{nk} \le \sum_{k=0}^\infty (na^n)^k = \frac{1}{1-na^n}\end {align} Para $0<a<1$ tenemos $$\lim_{n\rightarrow\infty} na^n = 0$$so $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{1-na^n} = 1 $ $ y al usar la compresión $$ 1\le a_n \le \frac{1}{1-na^n}$ $ obtenemos $$ \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 1$ $

Answer 2

Una manera de hacerlo es mediante la regla de L'Hospital de: reemplace $n$ con $x$ y la nota que $\lim_{x\rightarrow \infty} (1+a^x)^x$ tiene la forma indeterminada $1^\infty$. Deje $y=(1+a^x)^x$. A continuación, $\ln y = x \ln(1+a^x)=\frac{\ln(1+a^x)}{1/x}$ es de la forma $0/0$ como $x\rightarrow \infty$. Una aplicación de la regla de L'Hospital de le dará $\ln y \rightarrow 0$, y por lo $y\rightarrow 1$