Probar que Es irracional.

Question

La pregunta es: demostrar $x=\sqrt{3} - \sqrt{2}$ no es racional.

Puedo "demostrar" que el anterior (es decir. Vi la respuesta en mi libro), pero no puede entenderlo. $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$, $x+\sqrt{2}=\sqrt{3}$, $(x + \sqrt{2})^2 = 3$, $x^2+2\sqrt{2}x+2 = 3$, $\sqrt{2} = \frac{3-x^2-2}{2x}$.

Esta es una contradicción como $\sqrt{2}$ no es racional. Ok, entiendo que es una contradicción, pero contradice lo que?

Me refiero a que esta prueba no comienzan con "supongamos que [ ... ]", así que no sé es la hipótesis que se contradecía. Esta es probablemente una pregunta muy básica, pero por favor alguien puede explicar donde en la prueba hizo que asumen $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ es racional?

Gracias!

Answer 1

La suposición es la derecha en el comienzo: suponga que el $x=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ es racional. A continuación, siga a través de las manipulaciones algebraicas que hemos enumerado hasta llegar a $$ \sqrt{2} = \frac{3-x^2-2}{2x}$$

Desde $x$ se supone que para ser racional, tanto en el numerador y el denominador de esta fracción debe ser racional, lo que significa que $\sqrt{2}$ es racional. Y esa es la contradicción.

(Esto supone, por supuesto, que usted ha visto o trabajado el estándar de prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional)

Answer 2

Además, después de escribir $$2\sqrt2x=1-x^2$$ we need to say that $ x \ neq0$(otherwise, $ 0 = 1 $ , lo cual es imposible).

Por lo tanto, de hecho, $$\sqrt{2}=\frac{1-x^2}{2x},$$ which is a contradiction because we assumed before that $ x \ in \ mathbb Q $ .