Demuestre que$g(x)=x + f(x)$ es el subjetivo

Question

Deje $f: {\mathbb{R}}^n \rightarrow {\mathbb{R}}^n$ ser continuamente diferenciable y $C \in (0,1)$ una constante, de modo que ${||Df(x)||}_{op} \leq C$ $\forall x \in {\mathbb{R}}^n$ con $op$ ser un operador de la norma.

Mostrar que $g: {\mathbb{R}}^n \rightarrow {\mathbb{R}}^n$, $g(x)=x+f(x)$ es surjective.

He intentado siguiente:
$g(x)=x+f(x)$
$\Leftrightarrow Dg(x)=Dx+Df(x)$
$\Leftrightarrow {||Df(x)||}_{op}={||Dg(x)-Dx||}_{op} \leq C$
No estoy realmente seguro de cómo llegar desde aquí. Es posible el uso de la sub-aditivo de la matriz de normas, incluso si hay un signo menos en la ecuación?

Estoy agradecido por cada pista.

Answer 1

Para cualquier $Y \in \mathbb{R}^n$ fijo, considere la función $x \mapsto Y - f(x)$ . Por la hipótesis dada, se obtiene que esta función satisface las condiciones del teorema de punto fijo de Banach. Por lo tanto, este mapa tiene un punto fijo único, que es equivalente a una solución de $x + f(x) = Y$ .

Answer 2

Sugerencia: demuestre que la imagen de $g$ está abierta y cerrada.

Para la apertura, use el teorema de la función inversa localmente.

Para el cierre, haga un límite de $\|f(x)\|$ y use Bolzano Weierstrass.

Answer 3

Sugerencia: Por la desigualdad del triángulo inverso, tenemos $$ \ | Dg (x) \ | _ {op} = \ | Dx + Df (x) \ | _ {op} = \ | \ operatorname {id} _ {\ Bbb R ^ n} + Df (\ cdot) \ | _ {op} \\ \ geq \ | \ operatorname {id} _ {\ Bbb R ^ n} \ | _ {op} - \ | Df (\ cdot) \ | _ {op} = 1-C> 0 $$