Encontrar todas las funciones reales positivas que satisfacen$xf(y)+f(f(y))\leq f(x+y)$

Question

Encuentra función$f: \mathbb{R}_{> 0}\rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ tal que:$xf(y)+f(f(y))\leq f(x+y)$ para todas positivas% #% $x$ y% #%?

Ese problema me hizo pensar mucho. Esta es la primera vez que resuelvo la desigualdad funcional. Por favor, muéstrame la manera de resolver tales problemas. A partir de la desigualdad, ¿podemos probar que $y$ es inyectivo o suryectivo?

Answer 1

$f(f(y))-f(x+y)\leq -xf(y)$.

Como $xf(y)>0$, $f(f(y))-f(x+y)<0$.

Ahora, si $f(y_0)>y_0$ para algunos $y_0>0$, entonces podemos poner $x=f(y_0)-y_0$ e $y=y_0$ que los rendimientos de $f(f(y_0))-f(f(y_0))<0$ que es claramente erróneo.

Por lo tanto, $$f(y)\leq y$$

Ahora, como $f(f(y))>0$, $xf(y)<f(x+y)\leq x+y$

$x(f(y)-1)<y$ $\forall$ $x,y>0$.

Si $f(y)>1$ para cualquier finito $y>0$, haciendo $x$ arbitrariamente grande, se obtiene una contradicción.

Por lo tanto, $$f(y)\leq 1$$

Como $f(f(y))>0$, $f(x+y)\leq 1$ e $xf(y)+f(f(y))\leq f(x+y)$, $$xf(y)<1$$

Como $f(y)>0$, haciendo $x$ arbitrariamente grande, obtenemos otra contradicción.

Por lo tanto, no existe ninguna función de $f:\mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R}_{>0}$ tal que $xf(y)+f(f(y))\leq f(x+y)$.

Answer 2

Podemos probar, primero, que $f(x)\leq x$. Supongamos que para algunos $k$, $f(k)>k$. A continuación, dejando $x=f(k)-k$ e $y=k$ en la ecuación original muestra que $$(f(k)-k)f(k)+f(f(k))\leq f(f(k)) \implies (f(k)-k)f(k)\leq 0$$ which is clearly a contradiction since we supposed $f(k)-k$ was positive and $f$ attains positive real values. Hence $f(x)\leq x$ for all $x\in\mathbb{R^+}$.

Ahora fijar una constante $c>0$. Tenga en cuenta que para suficientemente grande $N$, tenemos que $$\begin{align*} N(f(c)-1)&>c-f(f(c))\qquad \text{ (true for sufficienty large $N$)} \\ \implies Nf(c)-N&>c-f(f(c)) \\ \implies Nf(c)+f(f(c))&>N+c\tag{1} \end{align*}$$

Pero si ponemos $x=N$ e $y=c$ en nuestra ecuación original, nos encontramos con que, por el contrario, $$Nf(c)+f(f(c))\leq f(N+c)\leq N+c$$ where the last inequality comes from the fact that $f(x)\leq x$. This clearly contradicts $(1)$, por lo tanto no hay tales funciones existen.