Funtores exactos y funtores derivados.

Question

Dado un exacto (aditivo) functor $F$, es decir, un aditivo functor la preservación exacta de las secuencias, no es difícil mostrar que todos los derivados de functors de $F$ se desvanecen.

Al mismo tiempo se da un derecho exacta functor (un argumento similar se tiene para la izquierda exacta caso) se puede demostrar que para cada secuencia exacta corta $$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$$ there exists an induced long exact sequence of the form $$\cdots \longrightarrow L_1F(B)\longrightarrow L_1F(C)\longrightarrow F(A) \longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C) \longrightarrow 0$$ and hence if the first derived functor $L_1F$ se desvanece, el functor es exacta.

Esto parece implicar que la desaparición de la primera derivada functor es una condición suficiente para la desaparición de todos los más altos derivados de functors. ¿Es esto cierto? Esto se siente como un resultado muy fuerte/restricción, por lo que me da la sensación de que me falta algo.

Answer 1

Sí, esto es correcto. El punto es que la desaparición de la primera derivada functor en todos los objetos es muy fuerte condición, y que la primera derivada functor en un objeto se corresponden a los más altos derivados de functors en otros objetos.

En la siguiente ilustración se puede hacer que este se sienta menos sorprendente. Deje $A$ ser cualquier objeto y tomar un breve secuencia exacta $$0\to B\to P \to A\to 0$$ where $P$ is projective. There is then an induced long exact sequence $$\dots\to L_{n+1}F(P)\to L_{n+1}F(A)\to L_nF(B)\to L_nF(P)\to\cdots$$ Cuando $n\geq 1$, $L_nF(P)$ e $L_{n+1}F(P)$ son triviales desde $P$ es proyectiva, y así el mapa de $L_{n+1}F(A)\to L_nF(B)$ es un isomorfismo. Así, por ejemplo, la desaparición de la $L_1F(B)$ es equivalente a la desaparición de la $L_2F(A)$. La iteración de esta construcción, podemos igualmente encontrar un objeto $C$ tal que la fuga de $L_1F(C)$ es equivalente a la desaparición de la $L_3F(A)$, y así sucesivamente. Así que, si conocemos $L_1F$ se desvanece en todos los objetos, que en realidad nos dice $L_nF$ se desvanece en $A$ para todos los $n\geq 1$.