Argumento sobre las interacciones en el libro de por qué

Question

Hay un párrafo sobre las interacciones en El Libro de los por Qué (Pearl & Mackenzie, 2018), en el Capítulo 9 (no puedo compartir el número de página porque tengo el libro en formato epub), donde los autores sostienen que:

Sin embargo, la Ecuación 9.4 mantiene automáticamente en una situación, con sin aparente necesidad de invocar hipótesis. Ese es el caso de un lineal modelo causal, del tipo que vimos en el Capítulo 8. Como discutido allí, modelos lineales no permiten interacciones, que puede ser tanto una virtud y un inconveniente. Es una virtud en el sentido de que hace análisis de la mediación mucho más fácil, pero es un inconveniente si queremos para describir el mundo real proceso causal que implica interacciones medicamentosas. [Énfasis mío]

La ecuación 9.4 ¿

$$\text{Total Effect = Direct Effect + Indirect Effect}$$

Se repite un argumento similar antes en el Capítulo 8:

Por otro lado, los modelos lineales no pueden representar curvas dosis-respuesta que no son líneas rectas. Ellos no representan el umbral de efectos, como una droga que cada vez tiene más efectos hasta una dosis determinada y ningún efecto. También puede representar las interacciones entre las variables. Por ejemplo, un modelo lineal puede describir un situación en la cual una variable aumenta o inhibe el efecto de otra variable. (Por ejemplo, la Educación puede aumentar el efecto de la Experiencia poniendo al individuo en el más rápido de la pista de trabajo que obtiene grandes anual levanta.)[Énfasis mío]

Y en el Capítulo 7:

Tenga en cuenta también que los basados en una regresión de ajuste* sólo funciona para modelos lineales, que implican un gran modelado de asunción. Con lineal modelos, perdemos la capacidad de modelar las interacciones no lineales, tales como cuando el efecto de X en Y depende del nivel de la a a la Z. La puerta de atrás el ajuste, por otro lado, todavía funciona bien incluso cuando no tenemos idea de qué funciones están detrás de las flechas en los diagramas. Pero en este los llamados no paramétrica caso, necesitamos emplear otros extrapolación los métodos para tratar con la maldición de la dimensionalidad. [Énfasis mío]

Por qué Pearl & Mackenzie argumentan que los modelos lineales no permiten interacciones? Puedo pasar por alto un detalle importante y el contexto específico de la información?

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*Por regresión basado en el ajuste, los autores se refieren (en los párrafos anteriores), lo que a veces llamada, "controlar" otras variables: "El análogo de una línea de regresión es una regresión avión, que tiene una ecuación que se parece a $Y=aX+bZ+c$ ... El coeficiente de $a$ nos da el coeficiente de regresión de $Y$ a $X$ ya ajustado para $Z$. (Se denomina coeficiente de regresión parcial y escrita $r_{YX.Z}$.)"

Answer 1

Se están mezclando lineal en los parámetros lineales en las variables. La linealidad se refiere a la relación entre las variables.

Su punto en el libro es que, si el modelo no es lineal en las variables, entonces tampoco la ecuación

$$\text{Total Effect} = \text{Direct Effect} + \text{Indirect Effect} $$

sostiene, ni el coeficiente de regresión le da la debida backdoor ajuste directamente.

En este último caso, por ejemplo, considerar la posibilidad de la esperanza condicional $E[Y|x,z] = \beta x + \gamma z$, que es lineal con respecto a $X$ e $Z$.

Si $Z$ satisface la puerta trasera criterio para el efecto causal de $X$ a $Y$, luego

$$ \frac{\partial E[Y|do(x)]}{\partial x} = \frac{\partial E[E[Y|x, Z]]}{\partial x} = \beta $$

Es decir, el coeficiente de regresión $\beta$ es igual a la media marginal efecto causal. Esto es lo que se entiende por "regresión basado en el ajuste de las obras" en este caso, no es necesario ningún paso adicional aquí---todo el promedio requerido para la puerta trasera de ajuste se realiza automáticamente por la regresión.

Ahora considere la posibilidad de la esperanza condicional $E[Y|x,z] = \beta x + \gamma z + \delta (x \times z)$. Nota que esto no es lineal con respecto al $x$ e $z$ (a pesar de que es lineal en los parámetros).

Nota: en este caso si $Z$ satisface la puerta trasera criterio para el efecto causal de $X$ a $Y$, luego

$$ \frac{\partial E[Y|do(x)]}{\partial x} = \frac{\partial E[E[Y|x, Z]]}{\partial x} = \beta + \delta E[z] $$

Es decir, la correcta puerta trasera de ajuste no está dada por el coeficiente de regresión en $X$ solamente.

De manera más general, la Perla es decir que si $Z$ satifies la puerta trasera criterio, se puede utilizar cualquier no-paramétrico estimador prefiere calcular la post-intervención, la distribución de $ E[Y|do(x)] = E[E[Y|x, Z]]$.

Answer 2

"Puramente lineal" modelos no permiten eso. Si usted desea modelar una interacción mediante un caso particular del Modelo Lineal General (no confundir esto con un Modelo Lineal Generalizado), usted tiene que presentar una artificial extra de variables como el producto de los dos interactúan queridos.

Este nuevo modelo lineal con respecto a sus parámetros (esto es lo que importa para la obtención de los estimadores), pero es no lineal con respecto a sus variables (usted no puede hablar de una relación lineal entre los regresores y la de destino)