Modelando matemáticamente el circuito RC con una entrada lineal

Question

He encontrado un montón de documentos y libros que modelo de cómo el voltaje a través de un condensador se comporta dentro de un transitorio circuito RC, mediante la siguiente ecuación:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Por desgracia, no he encontrado ningún recurso que explica cómo matemáticamente el modelo de un circuito RC, eran el uno para proporcionar un linealmente creciente fuente de voltaje como una entrada.

El intento de sustituir VMAX en la ecuación anterior, para una ecuación lineal, resulta en una ecuación que converge hacia la ecuación lineal, el significado corriente de cesar al cabo de un tiempo (I=(VS-VC)/R). Esto es obviamente falsa, ya que debe estar viendo enfoque actual de un valor constante con el tiempo, dado por:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Soy plenamente consciente de cómo el voltaje a través de un condensador que se comporten con un linealmente creciente de la fuente de voltaje, hay un montón de simuladores que muestran, e incluso se puede pensar en una explicación física de los resultados. Lo que me gustaría saber es cómo se podría matemáticamente el modelo de la tensión a través de un condensador con una linealmente creciente de la fuente de voltaje, en una manera similar a la ecuación que modela el voltaje a través de un condensador en los transitorios.

Answer 1

Por desgracia, no he encontrado ningún recurso que explica cómo matemáticamente el modelo de un circuito RC, eran el uno para proporcionar un linealmente el aumento de voltaje de la fuente de entrada.

Esta respuesta es todo acerca de la conversión del circuito a una función de transferencia en el dominio de la frecuencia, a continuación, multiplicando T. F. con la transformada de Laplace de la entrada para obtener el dominio de la frecuencia equivalente de la salida. Finalmente, un inversa de Laplace se realiza la operación para obtener el dominio del tiempo, la fórmula para la salida.

La transformada de Laplace de un paso bajo filtro RC es: -

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Este es el dominio de la frecuencia de la función de transferencia de modo que, si se multiplica esto por el dominio de la frecuencia equivalente de una rampa (\$\dfrac{1}{s^2}\$), se obtiene el dominio de la frecuencia de salida: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

El uso de un inversa de laplace de la transferencia de la tabla de esto tiene un dominio del tiempo de salida de: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Vea el artículo 32, sobre la mesa o, si la fórmula no tiene obvios entrada de la tabla, puede utilizar una inversa de laplace de la calculadora que resuelve numéricamente como este.

La calculadora le permite la construcción de la fórmula e introduzca un valor numérico para el RC. He utilizado un RC valor de 7 en el ejemplo de arriba para que yo pudiera ver cómo ese número se propagan a la respuesta final. El último obstáculo es la sustitución de los que propagan el valor de 7 RC. En otras palabras, es un solucionador numérico pero, sin embargo, una herramienta muy útil para tener a mano: -

Answer 2

Para una señal de entrada y un sistema de primer orden, se puede resolver la ecuación diferencial a través del factor de integración, \$\small (IF)\$, método* o la transformada de Laplace, entre otros. El análisis siguiente se utiliza el \$\small IF\$ método.

\$ ^*\$Ver editar y, a continuación, una explicación de la integración del factor de método.

Dado el circuito de la que usted describe, el bucle de la ecuación es:

\$v_i=v_R+v_C\$

\$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt\$

Diferenciar:

\$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C} \$

Reorganización:

\$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt} \$

Tomando nota de que \$\small \tau=RC\$:

\$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt} \$

En su caso particular, \$ v_i\$ es una rampa, por lo tanto: \$ v_i= \small Kt\$, donde \$\small K\$ es la pendiente de la rampa.

Por lo tanto \$\large \frac{dv_i}{dt} = \small K\$, y la ecuación para ser resueltos por el \$\small IF\$ método es el siguiente:

\$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R} \$

El \$\small IF\$ es:

\$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}} \$

Por lo tanto:

\$ i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A\$

\$ i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A\$

\$ i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}\$

Suponiendo que las condiciones iniciales son cero, \$\small A=-KC \$, por lo tanto:

\$ i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}}) \$

y

\$ v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}}) \$

......................................................................................................................................................

Edit: Resolución de 1 de fin de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) por el Factor de Integración (\$\small IF\$) método:

Para la educación a distancia:

\$ \frac{dy}{dt}\small +Py=Q\$, donde \$\small P\$ y \$\small Q\$ son funciones de \$\small t\$ (que puede ser constantes), le sigue los pasos:

1. Determinar el factor de integración: \$\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}\$

2. La solución general es entonces encuentran resolviendo: \$\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A\$, donde \$\small A\$ es una constante arbitraria.

3. Determinar \$\small A\$ a partir de la condición inicial o una condición de contorno, si se conoce.

Por ejemplo, la educación a distancia: \$ \frac{dy}{dt}+2y=3\$, con \$\small y(0)=5\$

Solución: se identifican \$\small P=2,\:Q=3\$

Por lo tanto

\$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}\$

Por lo tanto

\$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A\$

\$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A\$

Dividiendo por \$\small e^{2t}\$

\$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}\$

Aplicando la condición inicial:

\$\small y(0)=5= 1.5 + A\$; por lo tanto \$\small A=3.5\$

Dar: \$ y= 1.5 + 3.5e^{-2t}\$

Answer 3

Puede también agregar otro enfoque basado en Chu recomendación:

La forma estándar de una ecuación diferencial lineal es:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

Si se puede configurar cosas como que, a continuación, su factor de integración (la cual es una ingeniosa manera de resolver estos) es:

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Entonces la solución es:

$$ y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Supongamos el siguiente circuito:

^{simular este circuito – Esquema creado mediante CircuitLab}

Luego de nodal, se obtiene:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

El que está en la forma estándar, ahora.

Así, \$P_t=\frac{1}{R\,C}\$ y \$Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\$. Por lo tanto, el factor de integración es: \$\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}\$ y la:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

Usted debe ser capaz de realizar fácilmente la anterior, dado un nivel suficientemente simple \$V_s\left(t\right)\$. (No olvides la constante de integración.)

Answer 4

lo que escribió como Vmax puede ser cambiado por el voltaje que cambia con el tiempo si no es mucho más rápido que la constante de tiempo del condensador debe darle un modelo decente.

Si usted quiere una respuesta más precisa, puede Fourier/la transformada de Laplace de su voltaje de entrada y calcular la reactancia para el condensador en cada frecuencia que se obtiene, resolver cada uno de ellos y añadirlos juntos, lo que le dará la tensión final.

La segunda opción que le da una forma mucho más exacta de la solución es bastante más complejo que la simple primero que me sugiere, que sólo puede dar una solución exacta si el voltaje se eleva mucho más lentamente que la carga del condensador.

edit: como algunos de los comentarios que se mencionan también es posible resolver la ecuación diferencial para una rampa en lugar de un paso.