Intuición para el papel de los difeomorfismos.

Question

Entiendo que la función general de isomorphisms en matemáticas. Si dos grupos son isomorfos, son indistinguibles por el grupo de teoría de los medios. Si dos espacios topológicos son homeomórficos, son indistinguibles por topológico medios. Y así sucesivamente.

Sin embargo, no estoy muy seguro si entiendo el papel de diffeomorphisms totalmente. En Geometría Diferencial de Curvas & Superficies, do Carmo escribe que "desde el punto de vista de la diferenciabilidad, dos diffeomorphic superficies son indistinguibles." Sin embargo, es posible que dos superficies decir, la unidad de la esfera y de una esfera de radio 2 - se diffeomorphic aunque hay importantes diferencias: Porque el diffeomorphism entre ellos no es una isometría, su interior geometría es diferente. Si la curva se desplaza por el diffeomorphism de una de las esferas a la otra, cambia su longitud.

Así, el interior de la geometría no es necesariamente conserva. Pero lo que se conserva? ¿Qué hace un diffeomorphism hacer que un homeomorphism no? (Por lo que vale, estoy más interesado en la intuición que en una descripción técnica.)

Answer 1

Diffeomorphisms son los isomorphisms en la categoría de suave colectores, mientras que las isometrías son los isomorphisms en la categoría de Riemann colectores.

Es decir, diffeomorphisms no está bajo ninguna obligación de preservar la extra estructura (métrica, y toda la geometría que viene con ella) que los colectores podría tener. Que sí conservan las estructuras diferenciables, en el sentido de que si $\varphi:M\to N$ es un diffeomorphism, a continuación, $g:N\to \Bbb R$ es suave si y sólo si $g\circ \varphi :M\to \Bbb R$ es suave.

Answer 2

Usted está consiguiendo en la diferencia fundamental entre la geometría diferencial y topología diferencial. Cuando estamos considerando la posibilidad de colectores (superficies son un $2$d caso) que no sólo se preocupan por el conjunto, nos preocupamos por toda la estructura. Así que, ¿qué tipo de estructura se le preservar?

• Un homeomorphism es un isomorfismo de espacios equipados con topologías
• Un diffeomorphism es un isomorfismo de espacios equipados con suave estructuras
• Una isometría es un isomorfismo de espacios equipados con métrica (o de Riemann) de estructuras

Answer 3

Cuando tenemos una "nueva" categoría", como cuando pasamos de (Abelian) grupos de anillos, se requiere que los mapas entre los objetos tienen propiedades que conservan la estructura. Por ejemplo, a(n) (Abelian) grupo homomorphism conserva la operación binaria: $\phi:A\to B$ ha $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$. Un anillo homomorphism tiene el requisito adicional de que $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ para cualquier par $x,y\in A$.

Si tenemos un par de espacios topológicos $(X,\mathcal{T}_X)$ e $(Y,\mathcal{T}_Y)$, tienen los datos de un conjunto de puntos y una topología en ellos (la $\mathcal{T}$ chicos de arriba). A continuación, un mapa continuo es un mapa que conserva la estructura topológica de un adecuado sentido. Así que, ¿qué es exactamente un suave colector? Un suave manifold es un triple $(M,\mathcal{T}_M, \mathcal{A}_M$), donde $\mathcal{A}_M$ es el dato de un buen atlas. Así, dado un par de suaves colectores $M$ e $N$ (supresión de la triple notation) exigimos a nuestros "suave" mapa de $f:M\to N$ a preservar la estructura topológica y la suave estructura. Por lo tanto $f$ debe ser continuo con algunas propiedades adicionales.

Ahora, una suave estructura equivale a decir lo que se llama a las funciones suave en el espacio. Y un buen mapa de $f:M\to N$ se define de tal manera que si $g\in \mathscr{C}^\infty(N)$, a continuación, $f^*(g)=g\circ f\in \mathscr{C}^\infty(M)$ es también suave. En este sentido, una función suave define un mapa de $f^*: \mathscr{C}^\infty(N)\to \mathscr{C}^\infty(M)$. En particular, para cualquier subconjunto $U\subseteq N$, por la continuidad de $f^{-1}(U)\subseteq M$ es abierto y obtener un mapa $f^*: \mathscr{C}^\infty(U)\to \mathscr{C}^\infty(f^{-1}(U))$ que se relaciona suave funciones en un conjunto abierto a las funciones lisas en el otro.

Entonces, si estamos de acuerdo en que esta es la correcta noción de un buen mapa, la noción de diffeomorphism de la siguiente manera natural.

Answer 4

Mientras que las tres respuestas son claras, creo que un contra-ejemplo podría ser pedagógico.

• Es fácil pensar de homeomorphisms entre suave colectores que no son diffeomorphisms: cualquier bijective, asignación continua cuya coordinar la representación de los mapas no son lisas funciones que debe de hacer.

• Un par de suaves colectores que son homeomórficos, pero no diffeomorphic es más difícil encontrar un contra-ejemplo puede ser construido con "exóticas de las esferas".

Ver también la pregunta relacionada con la Se homeomórficos diferenciable colectores en realidad diffeomorphic?