Me gustaría ofrecer una respuesta parcial heurística a una pregunta más general... que se relaciona con algunas de las discusiones en los comentarios.
Edición: mi punto principal no funciona, así que señalaré el error a continuación - por favor, vea los comentarios. Aún así dejaré la respuesta aquí ya que el resto de las matemáticas parece estar bien y quizás la idea sea útil de alguna manera. ¡Interesante pregunta! Muy agradable para pensar.
Tuve que generalizar la definición para que mi argumento funcionara, de modo que $p$ es un $\textit{survivor of order}$ $m$ si existe un conjunto de primos $\{q_1, \dots, q_m\}$ tal que para cada $k \le m$ la concatenación de primos $$ q_k \ q_{k-1} \ \dots \ q_2 \ q_1 \ p $$ es primo.
A $\textit{survivor of order}$ $\infty$ es un primo $p$ junto con un conjunto infinito de primos $\{q_1, q_2, q_3, \dots \}$ tal que para cada $m$ la concatenación de primos $$ q_m \ q_{m-1} \ \dots \ q_2 \ q_1 \ p $$ es primo.
Este es el esquema de mi argumento:
Parte 1: Heurísticamente, es muy probable que para cualquier $k \in \mathbb{N}$ y $n \in \mathbb{N}$ con $n > k$ Hay un $n$ -que es la concatenación de $k$ muchos primos.
Parte 2: Utilizando el lema heurístico de la parte 1, construye un árbol de ramas finitas $T$ de altura $\omega$ (an $\omega$ -árbol) cuyos caminos corresponden a primos que son concatenaciones de primos. A continuación, utilice el lema de Kőnig para demostrar que $T$ debe tener un camino infinito, es decir, un superviviente de orden $\infty$ .
PARTE 1
A La pregunta/respuesta de MSE muestra que para cada $n \in \mathbb{N}$ hay un número primo con $n$ dígitos . Una de las respuestas aporta más intuición a la pregunta: "El número de $n$ -aumenta mucho más rápido de lo que disminuye la densidad de números primos, por lo que el número de $n$ -aumenta rápidamente a medida que $n$ aumenta".
Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ . Definir ${Q_n}_1$ para ser el número de $n$ primos de dígitos, y definir ${Q_n}_2$ para ser el número de formas de concatenar primos para hacer un $n$ -número de dígitos.
En primer lugar, voy a estimar ${Q_n}_1$ el número de $n$ -primos de un dígito.
Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ . Sea $k$ ser un $n$ -número de dígitos. Entonces $k < 10^n$ por lo que una estimación conservadora de la probabilidad de que $k$ es primo es $$ \frac{1}{\ln(10^n)}. $$
Dado que hay $9^n$ muchos $n$ -números de dígitos, hay aproximadamente $$ \frac{9^n}{\ln(10^n)} $$
muchos $n$ -números de un dígito que son primos.
Por lo tanto, la estimación de ${Q_n}_1$ es $\frac{9^n}{\ln(10^n)}$ .
Aquí hay una tabla que da los valores estimados frente a los valores reales de los números primos para una longitud dada.
\begin {array}{{ c | c | c | c |} \hline \mbox { Dígitos }& \mbox { Fórmula } & \mbox { Estimación del número de primos } & \mbox { Actual } \\ \hline 1 & \frac {9}{ \ln (10)} & 3.91 & 4 \\ \hline 2 & \frac {9^2}{ \ln (10^2)} & 17.59 & 21 \\ \hline 3 & \frac {9^3}{ \ln (10^3)} & 105.53 & 142 \\ \hline 4 & \frac {9^4}{ \ln (10^4)} & 712.35 & 1061 \\ \hline \end {array}
A continuación, estimaré el número de formas de escribir un $n$ -como una concatenación de números primos.
Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ . Voy a asumir $n$ es impar para hacer el cálculo aquí un poco más simple. Voy a calcular el número de formas de escribir $n$ como una concatenación de dos primos, y por tanto la estimación del número de formas de escribir $n$ como una concatenación de más primos será mayor.
Para cualquier $n \in \mathbb{N}$ hay $n-1$ muchas maneras de ver $n$ como una concatenación de dos números. Por ejemplo, el número de 5 dígitos 75319 puede verse como: 7-5319, 75-319, 753-19, o 7531-9 (este es un ejemplo aleatorio, en el trabajo de abajo cada parte de la concatenación es un número primo).
Permítanme mostrar cómo estimar el número de formas de escribir un número de 5 dígitos como una concatenación de primos, entonces el lector puede ver cómo obtuve la estimación para un $n$ -número de dígitos.
Para un número de 5 dígitos, el primer tipo de concatenación es un número de un solo dígito seguido de un número de 4 dígitos.
Hay 4 números primos de una sola cifra, y hay aproximadamente $\frac{9^4}{\ln(10^4)}$ primos que tienen 4 dígitos.
Por lo tanto, hay aproximadamente $\frac{4 \cdot 9^4}{\ln(10^4)}$ muchos números de 5 dígitos que son del primer tipo de concatenación.
Hay otros tantos del tipo de concatenación, que es un número de 4 dígitos seguido de un número de un solo dígito.
Para el tipo de concatenación de un número de 5 dígitos que es un número de 2 dígitos seguido de un número de 3 dígitos, hay aproximadamente $\frac{9^2 \cdot 9^3}{\ln(10^2) \cdot \ln(10^3)}$ muchos números de 5 dígitos de este tipo de concatenación.
Hay la misma cantidad de números de 5 dígitos que son del tipo de concatenación, que es un número de 3 dígitos seguido de un número de 2 dígitos.
Así, la estimación total del número de formas de escribir un número de 5 dígitos como concatenación de dos primos es
$$ 2 \ \Bigg( \frac{4 \cdot 9^4}{\ln(10^4)} + \frac{9^2 \cdot 9^3}{\ln(10^2) \cdot \ln(10^3)} \Bigg) = 9411.$$
Un argumento trabajado dará la siguiente estimación del número de formas de escribir un $n$ -como una concatenación de dos primos: $$ 2 \Bigg( \frac{4 \cdot 9^n}{\ln (10^n)} + \frac{9^{n-2} \cdot 9^2}{\ln(10^{n-2})\cdot \ln(10^2) } + \dots + \frac{9^{(n+1)/2} \cdot 9^{(n-1)/2}}{\ln(10^{(n+1)/2}) \cdot \ln(10^{(n-1)/2})} \Bigg) .$$
[Esta parte no tiene mucho sentido] Por lo tanto, la estimación para ${Q_n}_2$ debe ser mayor que el número anterior. Así, heurísticamente, ${Q_n}_2 > {Q_n}_1$ . Es decir, el número de formas de escribir un $n$ -como una concatenación de $k$ muchos primos es mayor que el número de $n$ -primos de un dígito. Por lo tanto, es probable que para un determinado $n$ y $k < n$ Hay un $n$ -que es a la vez primo y concatenación de primos.
PARTE 2
Si es cierto que para cada $n \in \mathbb{N}$ y $k < n$ Hay un $n$ -que es una concatenación de $k$ muchos primos, entonces puedo imaginar la construcción de un $\omega$ -árbol $T$ cuyos caminos corresponden a primos que son concatenaciones de primos. Por el lema de Kőnig $T$ debe tener un camino infinito, y por lo tanto debe haber un superviviente de orden $\infty$ .
Me gustaría ampliar aquí para describir $T$ :
1) $ t \in T$ si $t$ es primo y una concatenación de primos
2) $s < t$ en $T$ si $t = s^{\cap}q$ donde $q \in T$
Pidamos $T$ con una ordenación lexicográfica de las primeras "palabras" creadas.
En primer lugar, podemos ver que $T$ es un árbol. Entonces podemos ver que el árbol es finitamente ramificado a través del ordenamiento ya que hay finitamente muchos primos para cada número de dígitos. Finalmente, $T$ tiene ramas de cualquier altura por el lema heurístico de la parte 1, y por tanto $T$ tiene altura $\omega$ .
Si no hay un primer superviviente del orden $\omega$ entonces $T$ es un $\aleph_0$ -Aronszajn, lo cual es imposible. Por lo tanto, debe haber un primer superviviente de orden $\omega$ .
