Resolver $x^2 + 8 = 3^n$ , donde $x\in\mathbb N$ .

Question

En primer lugar, $n$ es par (descúbrelo intentando ver qué tipo de restos puedes obtener al dividir todo por 4). Así que $n=2m$ , $m\in N$ .

$x^2 + 8 = 3^{2m} \Rightarrow x^2 - 1 = 3^{2m} - 9 \Rightarrow (x+1)(x-1) = (3^m + 3)(3^m - 3) \Rightarrow x$ es impar.

Eso es todo lo que he probado hasta ahora. Me gustaría recibir ayuda. Gracias.

Answer 1

Ahora que sabes $n$ es par, escriba $8=(3^{n/2}-x)(3^{n/2}+x)$ . ¿Cuáles son los posibles factores de $8$ ? ¿Qué casos tenemos, entonces?

Answer 2

Como $n=2m$ tenemos $x^2+9=(3^m)^2$ es decir $8=(3^m+x)(3^m-x)$ . Así, $x=\frac{a-b}2$ donde $ab=8$ y $a\ge b$ es decir $x\in\{\frac{8-1}2,\frac{4-2}2\}$ y finalmente $x=1$ .