Descomposición Polar de un Complejo Campo Escalar

Question

La gente suele escribir un escalar complejo campo a través de la descomposición polar. Lo que hace esta parametrización precisamente significa?

Para ser más explícito considerar el siguiente Lagrangiano de un complejo campo escalar con un $ U(1) $ simetría, \begin{equation} {\cal L} = - m ^2 \left| \phi \right| ^2 - \frac{ \lambda }{ 4} \left| \phi \right| ^4 + \left| \partial _\mu \phi \right| ^2 \end{equation}

A continuación, podemos hacer que un campo de transformación, \begin{equation} \phi (x) = \rho (x) e ^{ i \theta (x) } \end{equation} Normalmente nos referimos a $ \rho (x) $ $ \theta (x) $ real campos escalares, pero este es un extraño para un par de razones. En primer lugar, el $ \rho (x) $ campo es positiva definida. Esta es una condición de frontera que la que normalmente no vemos en QFT. Es especialmente raro si $ \rho $ es cuantificada en torno a $0$ ya que no puede `ir en la dirección negativa".

La segunda razón por la que pienso que llamar a $ \rho (x) $ $ \theta (x) $ cuántica de campos es extraño, porque después de escribir el Lagrangiano que tenemos, \begin{equation} {\cal L} = - m ^2 \rho ^2 - \frac{ \lambda }{ 4} \rho ^4 + \partial _\mu \rho \partial ^\mu \rho + \rho ^2 \partial _\mu \theta \partial ^\mu \theta \end{equation} El $ \theta (x) $ campo no tiene una adecuada cinética plazo, entonces no puede ser una propagación de campo!

Si estos objetos no son cuántica de campos, a continuación, cómo debo pensar acerca de ellos?

Answer 1

Creo que la confusión surge de uso indistinto del término campos escalares cuando se refiere a un campo físico, y cuando se refiere a las funciones escalares. Voy a intentar responder a tu pregunta el esclarecimiento de estos elementos por separado:

• Escalar campo vs función Escalar
• Los números complejos' representación polar
• Lo que esta parametrización en los medios...

Escalar campo vs función Escalar: En Matemáticas una función escalar es cualquier función de mapeo de algunas espacio vectorial a su cuerpo (teniendo varios argumentos y devuelve un número, consulte Espacio Vectorial en Wikipedia). En la Teoría Cuántica de campos (QFT), la función de campo describiendo un bosón de campo se suele llamar un campo escalar, porque tiene las propiedades matemáticas de una función escalar, y también debido a sus propiedades de transformación (véase V. Parameswaran Nair-Capítulo 2 para una vista simple, la más grave de las definiciones de R. Blumenhagen-Capítulo 2). Pero la mayoría de todos, mientras que un campo escalar es una función escalar, describe un campo cuantizado, es decir, que tiene más matemático restricciones. Véase también el Campo Escalar en la Wikipedia.

Número complejo representación polar: Esta es una de las varias maneras en que podemos representar los números complejos en términos de dos números reales (muy bien cubiertos en Número Complejo en la Wikipedia). Cualquier número complejo puede ser expresado en esta representación: si $c=a+ib$ es un número complejo con $a$ $b$ las componentes real e imaginaria, siempre se puede encontrar $\rho=\sqrt{a^2+b^2}$$\theta=\arccos{\frac{a}{\rho}}=\arcsin{\frac{b}{\rho}}$, que es fácil de inferir, a partir de la representación geométrica de los números complejos en 2D espacio Euclidiano. A partir de aquí se obtiene la restricción de $\rho > 0$, pero esto no hace de límite de esta representación, es decir, puede representar todos los números complejos.

Lo que esta parametrización significa: $\phi$ aquí es a la vez un campo escalar en la QFT sentido, y también un matemático escalares del campo o de la función, ya que los mapas de$\mathbb{R}^4$$\mathbb{C}$. La transformación $$\phi_{(x)}=\rho_{(x)} e^{i\theta_{(x)}}$$ is using the polar representation to express $\phi$ in terms of two mathematical scalar functions $\rho$ and $\theta$, each of them mapping from $\mathbb{R}^4$ to $\mathbb{R}$.

Pero uno debe tener en cuenta que $\rho$ $\theta$ no son físicas campos escalares, por lo tanto después de la sustitución en el Lagrangiano tiene sólo varió la expresión matemática (de ahí lo de `extraña energía cinética plazo para $\theta$"). En otros términos, a pesar de que ambos $\rho$ $\theta$ hacer física, función escalar necesario caracterizar su campo escalar $\phi$, no están separados campos escalares por sí mismos. Así, su matemática parametrización de $\phi$ no se traduce en un físico de la descomposición de un bosón de campo en otras 2 bosón de campos.