¿Cómo va esta suma a$0$?

Question

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma401/0304/handinsolutions.pdf

En el problema (2), al final dice

PS

No veo cómo se logra eso. Entiendo que la secuencia podría, pero ¿cómo es la suma$$\left(\sum_{k = n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\right)^{1/2} \to 0$ $?

¿Se permite hacer lo siguiente?

PS

PS

PS

Answer 1

Uno puede olvidarse de la raíz cuadrada parte por un tiempo. Tenga en cuenta que $\dfrac{1}{k^2}\lt \dfrac{1}{(k-1)k}$.

Pero $\dfrac{1}{(k-1)k}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$. Por lo tanto su suma es menor que $$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+\cdots.$$ Nota: la venta al por mayor de cancelación: la suma es $\dfrac{1}{n}$.

De ello se desprende que su expresión original es de menos de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Comentario: el Tratamiento de infinito "sumas", como si fueran largo finito de sumas es un negocio peligroso, que puede dar respuestas equivocadas. Si uno tiene experiencia con una serie en particular, tales como la serie convergente $\sum_1^\infty \frac{1}{n^2}$, entonces uno puede "ver" que la cola debe acercarse $0$. De hecho, el problema es, precisamente, el problema de la convergencia de las $\sum_1^\infty \frac{1}{n^2}$.

Answer 2

Resulta que

PS

Puedes probar esto al factorizar un$$\sum_{k=N+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \int_0^{\infty} dx \frac{x }{e^x-1} e^{-N x}$ del denominador y Taylor expandiendo el denominador resultante. En cualquier caso, al integrarse por partes, puede demostrar que

PS

De hecho, puede obtener una expansión asintótica completa de la suma sobre$e^{x}$ usando esta integral. En cualquier caso, sin embargo, esto muestra cómo la suma desaparece como$$\sum_{k=N+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{N} + O\left( \frac{1}{N^2}\right)$.

Answer 3

En general, tenemos que si$\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ converge, entonces la cola del sereis$\sum_{k=N}^{\infty}a_k$ debe ir a cero para que esto se considere$$s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k$$ then we have$ s_n \ to \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} a_k$ that means for any $ \ epsilon$ we there is $ N$ such that$$|\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k-s_N|<\epsilon$$ but $$|\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k-s_N|=|\displaystyle\sum_{k=N}^{\infty}a_k|$$ thus, $$|\displaystyle\sum_{k=N}^{\infty}a_k|<\epsilon$$ since epsilon was arbitrary we conclude that$ \ sum_ {k = N} ^ {\ infty} a_k \ to 0$.

as for your example we know by the integral test that $ \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ 2}$ is convergent Thus, by what I wrote we must have $ \ sum_ {k = N} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ 2} \ a 0.$

Remark: of course if $ \ sum_ {k = N} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ 2} \ a 0.$ then $ (\ sum_ {k = N} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ 2}) ^ {1/2} \ a 0. $

Answer 4

Un problema relacionado . Tenga en cuenta que,

PS

lo que implica que la serie

PS

converge uniformemente. Entonces tenemos

PS

Tenga en cuenta que la función$$ \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2}= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+n)^2} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} <\infty, $ es una función continua para$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+n)^2} $, lo que justifica cambiar la operación$$ \lim_{n\to \infty} \sqrt{ \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2} } = \sqrt{\lim_{n\to \infty} \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2} } = \sqrt{\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+n)^2} } = \sqrt{ \sum_{k=1}^{\infty}\lim_{n\to \infty}\frac{1}{(k+n)^2} }=0. $.