Iteración de$\log(z) / \sqrt{z}$

Question

La función compleja $\log(z) / \sqrt{z}$ es una curiosidad que me parece muy interesante, ya que uno puede expresar $e^{i\pi}+1=0$ as $\log(-1) / \sqrt{-1} = \pi$.

Mi pregunta es, ¿cuál es el significado de los siguientes valores complejos?

$\log(5.06982105...+i\times2.16077849...) / \sqrt{5.06982105...+i\times2.16077849...} = $ $\qquad0.746670201...+i\times0.0226809289...$

$\log(0.746670201...+i\times0.0226809289...) / \sqrt{0.746670201...+i\times0.0226809289...} =$ $\qquad -0.336892113...+i\times0.0402541188...$

$\log(-0.336892113...+i\times0.0402541188...) / \sqrt{-0.336892113...+i\times0.0402541188...} =$ $\qquad 5.06982105...+i\times2.16077849...$

Parece que el repetido iteración de esta función casi siempre conduce finalmente a este ciclo de tres valores.

Yo estaba esperando estos valores a ser de alguna manera relacionados con el Lambert $W$ función, pero no puedo encontrar este tipo de conexión, ni cualquier otro tipo de conexión a conocidos constantes, funciones, o de los valores.

También, ¿por qué este ciclo tiene tres valores en lugar de dos valores?

Para el registro, hay un número complejo que satisface $\log(z) / \sqrt{z} = z$:

$e^{(-2/3)W(-3/2)}$

Pero cuando uno comienza con elegidas al azar de los números complejos, la iteración de esta función lleva no a este valor, pero para el ciclo de tres valores dados anteriormente.

Answer 1

Basado en Juan Barbero comentario, he trazado la fractal mencionó mediante el dominio de colorear a continuación:

La imagen de arriba se asigna un color a cada punto en el plano complejo (sólo $[-10,10]$ de cada eje se muestra). Trazado $\log(z)/\sqrt z$ le da:

Y la iteración de 100 veces da:

Parece ser que en 5 colores: amarillo, amarillo oscuro, marrón, marrón oscuro y rojo (dos tonos, probablemente). Esto sugiere que, después de infinitas iteraciones, no sólo puede ser de los pocos valores. Desde el dominio original para colorear, es claro que el amarillo y el marrón oscuro son complejos conjugados, de color amarillo oscuro y marrón son conjugados, y los dos rojos son conjugados.

Alguien con más habilidad, tiempo y paciencia probablemente puede explicar el fractal de los límites del dominio.