Encontrar el coeficiente de la función generadora.

Question

Encuentre el coeficiente de$x^{52}$ en$$(x^{10} + x^{11} + \ldots + x^{25})(x + x^2 + \ldots + x^{15})(x^{20} + x^{21}+ \ldots + x^{45})$ $

Una cosa que intenté fue factorizar el$x^{10}, x, x^{20}$ de cada uno de los productos, respectivamente, y luego usar la identidad de un producto de dos polinomios para obtener los coeficientes ... Pero terminé con$1$. ¡No puedo resolver esto y cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

El problema original, después de factorizando los términos indicados en el post, tenemos $$ x^{10}(1+x+\ldots+x^{15})(1 + x + \ldots+x^{14})(1+x+\ldots+x^{25}) \etiqueta{1} $$ La aplicación de algunas de las identidades, $(1)$ da $$ x^{31}\cdot\frac{1-x^{16}}{1-x}\cdot\frac{1-x^{15}}{1-x}\cdot\frac{1-x^{26}}{1-x} \tag{2}$$ Reordenando los términos, entonces tenemos $$ x^{31}\cdot(1-x^{16})\cdot(1-x^{15})\cdot(1-x^{26})\cdot \frac{1}{(1-x)^3} \etiqueta{*} $$ El último término en el anterior producto es igual a $$1 + \binom{3}{1}x + \binom{4}{2}x^2 + \ldots \tag3$$ Finalmente tomamos los productos que pueden resultar en $x^{52}$ y obtener los coeficientes:

1. $x^{31}$ (primer término en $(*)$) y $x^{21}$ (de $(3)$),
2. $x^{31}$, $x^{16}$ (segundo plazo en $(*)$), $x^5$ en $(3)$
3. $x^{31}$(primer término en el $(*)$), $x^{15}$ (tercer término en $(3)$), y $x^6$ en $(3)$

Ya que todos los coeficientes de los polinomios de igual $1$ o $-1$, excepto para el polinomio ampliado en $(3)$, se tiene como coeficiente de $$ \binom{21+3-1}{21} - \binom{6+3-1}{6} - \binom{5+3-1}{5} = 204 $$

Nota: yo no lo había visto Andre solución antes de escribir esto.

Answer 2

Factorizar es un buen comienzo. Ahora use el hecho de que$1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}$ (si$x\ne 1$).

Entonces, su expresión será una potencia de$x$, multiplicada por un producto de tres polinomios de forma$1-x^k$, dividido por$(1-x)^3$.

Usa el teorema binomial generalizado (o serie de Taylor) para encontrar la serie de potencias para$\dfrac{1}{(1-x)^3}$. Poner las piezas juntas es un poco desagradable, pero factible.