Dejemos que $f:\mathbb R\to \mathbb R$ sea una función tal que $f^{-1}(K)$ es compacto para todo conjunto compacto $K$ en $\mathbb R$ . Entonces
- $f$ es continua
- $\sup \limits_ {\mathbb R}f(x)<\infty$
- $\inf \limits_ {\mathbb R}f(x)>-\infty$
- $f$ es constante
Si consideramos la función de identidad $i:\mathbb R\to \mathbb R$ , entonces satisface la hipótesis, pero es evidente que 2. 3. y 4. son falsas por ello. ¿Pero no he podido demostrar que 1. es verdadera? ¿Alguna ayuda?