La imagen inversa de todo conjunto compacto es compacta bajo una función

Question

Dejemos que $f:\mathbb R\to \mathbb R$ sea una función tal que $f^{-1}(K)$ es compacto para todo conjunto compacto $K$ en $\mathbb R$ . Entonces

1. $f$ es continua
2. $\sup \limits_ {\mathbb R}f(x)<\infty$
3. $\inf \limits_ {\mathbb R}f(x)>-\infty$
4. $f$ es constante

Si consideramos la función de identidad $i:\mathbb R\to \mathbb R$ , entonces satisface la hipótesis, pero es evidente que 2. 3. y 4. son falsas por ello. ¿Pero no he podido demostrar que 1. es verdadera? ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Dejemos que

$$h:[0,1)\to[0,\to):x\mapsto\frac{x}{1-x}\;;$$

es fácilmente comprobable que $h$ es un homeomorfismo. Ahora dejemos que

$$f:\Bbb R\to\Bbb R:x\mapsto\begin{cases} x,&\text{if }x<0\\ h(x),&\text{if }0\le x<1\\ x-1,&\text{if }x\ge 1 \end{cases}$$

Para $A\subseteq\Bbb R$ dejar $A_L=A\cap(\leftarrow,0]$ y $A_R=A\cap[0,\to)$ claramente $f^{-1}[A]=f^{-1}[A_L]\cup f^{-1}[A_R]$ . Además, $f^{-1}[A_L]=A_L$ y $f^{-1}[A_R]=h^{-1}[A_R]\cup(A_R+1)$ Así que

$$f^{-1}[A]=A_L\cup h^{-1}[A_R]\cup(A_R+1)\;.\tag{1}$$

Si $A$ es compacto, cada término del lado derecho de $(1)$ es compacto, por lo que $f^{-1}[A]$ es compacto.

Answer 2

Considere la función $$f(t) =\begin{cases} -t \hspace{0.5cm}\mbox{ if } t\leqslant -\frac{\pi}{2} \\ \tan t \hspace{0.2cm}\mbox{ if } -\frac{\pi}{2} <t< \frac{\pi}{2}\\t \hspace{0.9cm}\mbox{ if } t\geqslant \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ entonces la preimagen de todo conjunto compacto es compacta pero $f$ no es continua.