[actualización]: He hecho la pregunta más precisa, más general y he añadido una pregunta de seguimiento
Considerando la iteración de funciones (con enfoque en la exponenciación iterada) estoy buscando, si alguna función que quiero iterar puede -espero que con alguna ventaja- ser expresada por iteraciones de una función -por así decirlo- "más básica".
Fo ejemplo asumo una función $f(x)$ tal que
$ \qquad \displaystyle \exp(x) = x \cdot f^{\circ 1}(x)\cdot f^{\circ 2}(x)\cdot f^{\circ 3}(x)\cdots $
$\qquad \qquad$ (donde la anotación del círculo significa iteración, y $f^{\circ 0}=x, f^{\circ 1}(x)=f(x)$ )
y primero pregunto: ¿qué hace esta función $f(x)$ ¿se ve así?
Lo que hago es esta sustitución: $$ \small \begin{array} {lrll} 1.& \exp(x) & = &x & \cdot f^{\circ 1}(x) & \cdot f^{\circ 2}(x) & \cdot f^{\circ 3}(x) & \cdots \\ 2.& \exp(f(x))&= && f^{\circ 1}(x) & \cdot f^{\circ 2}(x) & \cdot f^{\circ 3}(x) & \cdots \\ \\ \\ 3.& {\exp(f(x))\over \exp(x) } & = & \frac 1x \\ \\ & \exp(f(x)) & = & &{ \exp(x) \over x} \\ \\ \\ 4. & f(x)&=& x & - \log(x) \end{array} $$ $ \qquad \qquad $ (De 1. y 4. Sé, que x está ahora restringido a $x \gt 0$ )
Como señalan algunos comentarios, la construcción de la función $f(x)$ está infradeterminado, por lo que en el paso $3.$ el numerador y el denominador pueden tener un factor común $c$ de tal manera que tendremos
$$ \small \begin{array} {lrll} 1a.& \exp(x)\cdot c & = &x & \cdot f^{\circ 1}(x) & \cdot f^{\circ 2}(x) & \cdot f^{\circ 3}(x) & \cdots \\ 2a.& \exp(f(x)) \cdot c&= && f^{\circ 1}(x) & \cdot f^{\circ 2}(x) & \cdot f^{\circ 3}(x) & \cdots \end{array} $$
Si hago ahora el cálculo con algún ejemplo $x$ por $$ y = x \cdot f^{\circ 1}(x)\cdot f^{\circ 2}(x)\cdot f^{\circ 3}(x)\cdots $$ Recibo por todo lo probado $x>0$ el resultado $$ y = \exp(x) / \exp(1) $$ de manera que, efectivamente, un cofactor $c$ se produce y que es precisamente $1 / \exp(1)$
Q1: ¿De dónde procede este factor adicional en la evaluación empírica? ¿Dónde se ha perdido alguna información crucial en los pasos analíticos anteriores?
La pregunta puede ser más precisa:
Q2: ¿Cómo determina el cálculo empírico, que el cofactor $c$ es sólo $1/\exp(1)$ ?
(Los comentarios de @Eric Wong abordan esta cuestión, pero aún no la he explicitado)
Al revisar mi propia pregunta, es posible una generalización en el sentido de que puedo utilizar cualquier base $b$ con $\log(b)\ge 1$ tal que
$ \qquad \displaystyle {b^x \over b} = x \cdot f_b^{\circ 1}(x)\cdot f_b^{\circ 2}(x)\cdot f_b^{\circ 3}(x)\cdots $
y la constante $c$ sale siempre igual a $1/b$ de tal manera que también podríamos escribir
$ \qquad \displaystyle b^{x-1} = x \cdot f_b^{\circ 1}(x)\cdot f_b^{\circ 2}(x)\cdot f_b^{\circ 3}(x)\cdots $
Q3: ¿El comentario de Eric puede ser más explícito para que sirva para todas las bases?
Observo que para $\eta < \log(b) <1$ con $\eta \lt 0.39996 $ la secuencia de iterados de las funciones $f_b(x)$ cualquiera de los dos enfoques $1$ alternando desde abajo y desde arriba o no se acercan $1$ en absoluto, sino que se acercan a distintos puntos de acumulación... Esta observación es importante aquí, porque para tales bases $b$ la fórmula del producto anterior no funciona correctamente, porque a veces no se consigue la convergencia a un único punto fijo. Pero debido al comentario de @did he movido esa pregunta a un hilo conductor separado
Un fragmento de código utilizando Pari/GP:
f(x) = x-log(x) \\ define the function
x0=1.5
\\ = 1.50000000000
[tmp=x0,pr=1] \\ initialize
for(k=1,64,pr *= tmp;tmp = f(tmp)); pr \\ compute 64 terms, show result
\\ = 1.64872127070
exp(x0) \\ show expected value
\\ = 4.48168907034
pr*exp(1) \\ show, how it matches
\\ = 4.48168907034Este es un ejemplo que muestra el tipo de convergencia; utilizo $x_0=1.5$ y una precisión interna de 200 dígitos decimales. Entonces obtenemos los términos del producto parcial como $$ \small \begin{array} {r|r} x_k=f^{\circ k}(x) & (x_k-1) \\ \hline 1.50000000000 & 0.500000000000 \\ 1.09453489189 & 0.0945348918918 \\ 1.00420537512 & 0.00420537512103 \\ 1.00000881788 & 0.00000881787694501 \\ 1.00000000004 & 3.88772483656E-11 \\ 1.00000000000 & 7.55720220223E-22 \\ 1.00000000000 & 2.85556525627E-43 \\ 1.00000000000 & 4.07712646640E-86 \\ 1.00000000000 & 8.31148011150E-172 \\ 1.00000000000 & 1.020640763E-202 \\ 1.00000000000 & 1.020640763E-202 \\ \cdots & \cdots \end{array} $$
