Cómo visualizar el plano proyectivo real $\mathbb RP^2$ en tres dimensiones, si es posible?

Question

Pregunta similar aquí pero no aborda del todo lo que espero que se ilumine.

Recientemente he empezado a ver una serie de conferencias sobre topología. El material que he repasado hasta ahora se presenta sobre todo de forma geométrica. Francamente, no estoy seguro de que ése sea el término técnicamente correcto, así que, para aclararlo, quiero decir que "no es muy riguroso" y que "se utilizan muchos dibujos". Por lo tanto, me gustaría que cualquier respuesta o interpretación se presentara de forma similar, en términos -me atrevo a decir- legos.

En este video (entre 0:34 y 11:50), el prof. Tokieda esboza el proceso de

• considerando una esfera
• perforar un agujero en él cortando un disco de su límite
• rellenando ese vacío con una banda de Möbius y conectándola al resto de la esfera

lo cual está permitido ya que el límite de un disco y el límite de una banda de Möbius son homeomorfos (a círculos, según tengo entendido), poniendo así una "tapa" a la esfera, y llamándola plano proyectivo (real) , $\mathbb RP^2$ . Este colector se denomina entonces con un símbolo que se asemeja mucho al Estrella de la Muerte .

En la pregunta enlazada arriba, uno de los comentarios me dirigió a esto interesante animación que parece proyectar un punto sobre $\mathbb RP^2$ y rastrea su posición a lo largo de $\mathbb RP^2$ pero la propia superficie se divide en un disco que es homeomorfo a la esfera perforada y la tapa de Möbius.

Lo que me gustaría es poder visualizar de alguna manera esta "Estrella de la Muerte" completada de la misma manera que puedo visualizar la botella de Klein como una superficie auto-intersectiva en 3 dimensiones, como en esta imagen . ¿Es esto posible?

Inspirado por los 3 o 4 primeros vídeos de la lista de reproducción, me embarqué en una breve investigación para hacer esta "Estrella de la Muerte" de papel. Esto es lo que intenté, paso a paso:

• aplique un giro a la tira 1 y pegue sus extremos con cinta adhesiva; deje la tira 2 en paz
• a partir de un punto arbitrario de la franja 1, comenzar a alinear uno de los extremos de la franja 2 con el límite de la franja 1
  • después de unos momentos de esto, el límite de la tira 1 excede la longitud del límite de la tira 2, así que "deformo" la tira 2 cortando otra tira de papel con las mismas dimensiones, luego la pego al final de la tira 2 y efectivamente duplico su longitud
• continuar hasta que el extremo libre de la tira 2 pueda ser pegado al extremo pegado a la tira 1 al principio

Si este proceso no está claro, estaré encantado de subir una secuencia de fotos que tomé en varios puntos mostrando su progreso.

Al final de este proceso, ciertamente frustrante, termino con la tira 3, lo que parece ser simplemente una tira más ancha (por un factor de $3$ ) La tira de Möbius que la tira 1 era. Si fuera más ancha, estoy seguro de que el papel se rompería inmediatamente, lo que me hace pensar que completar el proceso es imposible o requiere un material mucho más resistente que el papel de cuaderno barato. (Desgraciadamente, se me ha acabado la goma infinitamente maleable y autopermeable).

¿Hay alguna forma de visualizar esta superficie completa?

Answer 1

Depende de lo que se entienda por "visualizar".

La interpretación matemática estándar de "visualizable en tres dimensiones" es que existe una incrustación en tres dimensiones. Tal incrustación no puede existir: una compacta no orientable $m-$ no puede incrustarse en $\mathbb{R}^{m+1}$ . Hay varias pruebas para esto: mediante la dualidad de Alexander, el número de intersección, etc., y es un resultado no trivial.

Otra interpretación puede ser que existe una inmersión en tres dimensiones que permite, por ejemplo, las auto-intersecciones. Bajo esta interpretación, sí que se puede visualizar: la superficie del Niño es un ejemplo.

Pero restringirse a esos conceptos de visualizable es hacer un flaco favor a la mejora del pensamiento geométrico abstracto, en mi opinión. Estoy muy contento de decir que visualizo el plano proyectivo, por ejemplo, visualizando $D^2$ con ciertas identificaciones en el límite, y esto es posiblemente una visualización bidimensional.

Answer 2

$\Bbb{R}\Bbb{P}^2$ se visualiza mejor como el conjunto de líneas que pasan por el origen en $\Bbb{R}^3$ (bajo la topología que dice que dos líneas están cerca si el ángulo entre ellas es pequeño).

Cada línea corresponde a dos puntos de la esfera unitaria. Si se elige algún ángulo pequeño $\delta > 0$ las líneas dentro de $\delta$ del ecuador forman la franja de Möbius $M$ que se obtiene al mirar todos los puntos del hemisferio norte dentro de $\delta$ del ecuador y pensar en cómo se unen las cosas cuando se gira una línea a través de $360^o$ sobre el $z$ -eje. Las líneas que no están dentro de $\delta$ del ecuador tienen un único representante en el hemisferio norte y esos representantes forman un disco $D$ tal que $\Bbb{R}P^2 = M \cup D$ .