¿Cómo resolver $xy=2\int_1^xy(t)dt+5$?

Question

¿Podrías darme alguna pista de cómo resolver esta ecuación: $xy=2\int_1^xy(t)dt+5$.

No se sabe si $y(x)$ es continua o no, por lo que no pude usar el Teorema Fundamental del Cálculo para diferenciar ambos lados de esta ecuación y así transformar la ecuación integral en una diferencial.

Gracias.

Answer 1

Derivar la ecuación y usar el teorema fundamental del cálculo para obtener $y(x)+xy'(x)=2y(x)$. entonces $xy'(x)-y(x)=0$ dividirlo por $x^2$, $\frac{y'(x)}{x^2}-\frac{y(x)}{x}=0$, por lo tanto $(\frac{y(x)}{x})'=0$ luego $\frac{y(x)}{x}=c$, así que $y(x)= cx$. sustituye en la ecuación original tienes $cx^2=2\int_{1}^{x}ctdt+5=cx^2-c+5$ y por lo tanto $c=5. luego $y(x)=5x$.