¿Propiedad de un polinomio$f\in\mathbb{Q}[X]$ tal que$f(n)\in\mathbb{Z}$ para todos$n\in\mathbb{Z}$?

Question

Siempre podemos ver a$\binom{x}{k}$ como un polinomio en$x$ de grado$k$. Teniendo esto en cuenta, ¿por qué es así que un polinomio$f\in\mathbb{Q}[x]$ es tal que$f(n)\in\mathbb{Z}$ para todos$n\in\mathbb{Z}$ iff los coeficientes de$f$ en términos de la base$\{\binom{x}{k}\mid k\in\mathbb{N}\}$ son tambien enteros?

Pensé que podría ser útil tener en cuenta que$0,1,\dots,k-1$ son raíces de$\binom{x}{k}$, pero todavía no veo por qué tal propiedad sería cierta. Gracias por una explicación.

Answer 1

Dado que los coeficientes binomiales para el entero$x$ son enteros, claramente$f(n)\in\mathbb{Z}$ para todos los$n\in\mathbb{Z}$ si los coeficientes son enteros.

Para la otra dirección, suponga que no todos los coeficientes son enteros. Luego hay un coeficiente mínimo, digamos que$m$ - th, que no es un número entero. La sustitución de$m$ por$x$ produce un coeficiente entero por un entero por$k\lt m$, un coeficiente no entero por$1$ por$k=m$ y$0$ para $k\gt m$. Por lo tanto, el valor en$m$ no es un número entero.

Answer 2

Otra razón es que las diferencias de orden superior de los valores de una función polinomial son eventualmente cero. Ir hacia atrás, uno encuentra una expresión para el polinomio en términos de Newton polinomios con coeficientes en el primer elemento de cada fila de las diferencias; ver http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_series#Newton.27s_series.

Answer 3

Otra forma de ver esto(que es la captura de la esencia de joriky argumento de que está trabajando en un triangular de la matriz): tomado de base del polinomio en Q con grado menor o igual que n,el coeficiente de Z, considere la matriz $ a_{i,j}=p_j(i) $ donde j y yo variar en $ \{0,..,n\} $ ( $p_j $ es, por supuesto, uno de los elemento de la base). Ahora el vector (f(0),..f(n)),está dada por la aplicación que de la matriz a por el vector de coeficiente de f,que en general se encuentra en $ {\mathbb{Q}}^{n+1}$, así que para ser capaz de deducir que los coeficientes son en $ {\mathbb{Z}}^{n+1} $ necesita que la inversa de esa matriz es todavía con coeficientes en Z,esto es equivalente a pedir que el determinante de la matriz es 1 o -1. Así que este es el criterio general,en el caso de que esto es evidentemente cierto,ya que usted tiene un triangular de la matriz con 1 en la diagonal de modo determinante es 1(y aquí está la tangencia con joriky argumento) Bye!