Clasificación de los grupos de orden 18

Question

Intento clasificar grupos de orden 18. Hasta ahora, he demostrado que un grupo $G$ de orden 18 viene dada por $G\cong C_9 \rtimes_{\varphi} C_2$ o $G\cong (C_3 \times C_3)\rtimes_{\varphi} C_2$ .

Si $G\cong C_9 \rtimes_{\varphi} C_2$ entonces $\mid \varphi(1) \mid$ divide $2$ para que $\varphi(1)$ es trivial o invierte un generador de $C_9$ . Llegué a la conclusión de que $G \cong C_{18}$ en el primer caso y $G \cong D_{18}$ en este último caso.

Ahora estoy considerando el caso $G\cong (C_3 \times C_3)\rtimes_{\varphi} C_2$ pero estoy atascado. He encontrado este artículo pero no lo hacen de la misma manera que yo (encontrar la imagen de $\varphi(1)$ en $Aut(C_3 \times C_3)$ ).

¿Hay alguna forma de hacerlo con mi método? Mi objetivo es poder hacer preguntas de este tipo en mi qual de álgebra sin tener que trastear. Estuve trasteando con el hecho de que $Aut(C_3 \times C_3)\cong GL_2(C_3)$ .

Answer 1

$\varphi(1)$ es un automorfismo de $C_3 \times C_3$ de orden $1$ o $2$ . Si tiene orden $1$ Entonces se obtiene el producto directo $C_3 \times C_3 \times C_2 \cong C_3 \times C_6$ Supongamos que tiene un orden $2$ .

Ayuda a pensar en ${\rm Aut}(C_3 \times C_3)$ como el grupo ${\rm GL}(2,3)$ de invertible $2 \times 2$ matrices sobre el campo de orden $3$ . Un elemento de orden $2$ tiene un polinomio mínimo $x^2-1$ o $x+1$ , por lo que tiene valores propios $1,-1$ o $-1,-1$ . En cualquier caso, la matriz es diagonalizable.

Así, podemos encontrar generadores $t,u$ de $C_3 \times C_3$ (correspondientes a los vectores propios de la matriz) tales que, en el primer caso, $\phi(1)$ mapas $t \mapsto t$ , $u \mapsto u^{-1}$ y, en el segundo caso $t \mapsto t^{-1}$ , $u \mapsto u^{-1}$ . Así que hay dos clases de isomorfismo de productos semidirectos no triviales.