Ecuación diofántica cuadrática general.

Question

Aquí está mi problema: tengo un general cuadrática de la ecuación de diophantine: $$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$ donde $x$ e $y$ son variables con números enteros $a,b,c,d,e,f$. Tengo que mostrar que si la ecuación tiene una solución en el conjunto de los números racionales, la ecuación se tiene una cantidad infinita de soluciones en el conjunto de los números racionales. Me da tres pasos para que me ayude a probar esto:
a) Nombre de la solución racional $(x_0,y_0)$. Escribir la ecuación de una línea recta $L$ a través de $(_0,y_0)$ con pendiente $t$ donde $t$ es un número racional.
b) Mostrar que el segundo punto de intersección $(x_1,y_1)$ con la línea $L$ es una solución racional así. Mostrar esta sin calcular el segundo punto de intersección de forma explícita mediante el siguiente teorema, que también tiene que demostrar:

Si $ax^2 + bx + c = 0$ es una ecuación con $0\neq a, b, c\in\mathbb Q$ y soluciones de $x_0$ e $x_1$,, a continuación,$x_0\cdot x_1 = c/a$.
c) Se puede demostrar que el original de la ecuación de diophantine tiene una cantidad infinita de soluciones racionales.

Si hay ambigüedades en mi pregunta, estaré encantado de intentar hacer más comprensible como el inglés no es mi madre language. Gracias de antemano!

Answer 1

Este es un viejo post, pero pueden ser útiles para aquellos que vienen a través de ella. El problema puede reducirse a una identidad. Dado,

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\tag{1}$$

para constantes enteras $a,b,c,d,e,f$. En primer lugar, resolver como un eqn en $y$,

$$y = \frac{-e-bx \pm \sqrt{ px^2+qx+r}}{2c}\tag{2}$$

donde,

$$p,\;q,\;r = (b^2-4ac),\; -2(2cd-be),\;(e^2-4cf)\tag{3}$$

Por lo tanto, si el discriminante de $(2)$ es un cuadrado, o usted tiene una primera solución racional a,

$$px_0^2+qx_0+r = t^2\tag{4}$$

a continuación, implica $(2)$ es racional.

Así que aquí es la identidad. Deje $p,q,r$ ser definido como el anterior. A continuación,

$$\begin{aligned} &ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=\frac{(px_0^2+qx_0+r)-t^2}{-4c}=0\\ \text{where},\qquad\\ &y = \frac{-e-bx \pm \big(u/v(x-x_0)+t\big)}{2c}\\ &x = x_0+\frac{-2tuv+(2px_0+q)v^2}{u^2-pv^2} \end{aligned}\etiqueta{5}$$

para arbitrario $u,v$. Así que si usted tiene inicial de la solución racional $x_0$ a $(4)$, entonces la identidad de $(5)$ muestra que puede generar un infinito más.

(P. S. Además, si $c=1$, y no cuadradas $p=b^2-4ac>0$, entonces usted puede encontrar entero $x,y$ mediante la resolución de la ecuación de Pell $u^2-pv^2 = \pm 1$.)

Answer 2

El método sugerido por el autor de la pregunta. Este método es Diofantos geometría. La desventaja es la necesidad de conocer a la primera solución. A continuación, construir una secante y busque la siguiente solución. Siempre estamos atados a los coeficientes.

Si usted utiliza un enfoque algebraico - usted puede obtener la solución correcta. Escribí otra fórmula.

A pesar de que es necesario que las decisiones de algunos muy simples soluciones:

la ecuación: $$aX^2+bXY+cY^2=f$$

Si la raíz de todo: $\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$

A continuación, utilice la solución de la ecuación de Pell: $p^2-(b^2-4ac)s^2=1$

Las soluciones pueden ser escrita: $$Y=((4a+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$$ $$X=(-(4c+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$$

Si una raíz: $\sqrt{fa}$, entonces las soluciones son de la forma: $$Y=4ps\sqrt{fa}$$ $$X=(-2bps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a}}$$
Aunque se debe mencionar, y la ecuación: $aX^2-qY^2=f$

Si la raíz de todo: $\sqrt{\frac{f}{a-q}}$ el Uso de la ecuación de Pell: $p^2-aqs^2=1$

las soluciones pueden ser escritas: $$Y=(2aps\pm(p^2+aqs^2))\sqrt{\frac{f}{a-q}}$$ $$X=(2qps\pm(p^2+aqs^2))\sqrt{\frac{f}{a-q}}$$

Y para que esa decisión tiene que encontrar la doble fórmula. $$Y_2=Y+2as(qsY-pX)$$ $$X_2=X+2p(qsY-pX)$$

Ser consciente de que esta fórmula en General, por lo tanto, debe considerarse equivalente a una forma cuadrática. Que es, por ejemplo, para hacer este cambio $X\longrightarrow{(X+kY)}$

Para algunos casos especiales, puede grabar y más que una simple fórmula.

Para una forma cuadrática: $Y^2=aX^2+bX+1$

El uso de soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-as^2=1$

Soluciones puede ser expresada a través de ellos es bastante simple. $$Y=p^2+bps+as^2$$ $$X=2ps+bs^2$$ $p,s$ - puede ser cualquier carácter.

Las soluciones de la ecuación: $ax^2-by^2+cx-dy+q=0$

puede grabar si la raíz de todo: $k=\sqrt{(c-d)^2-4q(a-b)}$

A continuación, utilizando las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-abs^2=\pm1$

Entonces la fórmula de la solución, se puede escribir: $$x=\frac{\pm1}{2(a-b)}(((d-c)\pm{k})p^2+2(bk\mp(bc-ad))ps+b(a(d+c)-2bc\pm{ak})s^2)$$ $$y=\frac{\pm1}{2(a-b)}(((d-c)\pm{k})p^2+2(ak\mp(bc-ad))ps-a(b(d+c)-2ad\mp{bk})s^2)$$

Si la raíz es una necesidad para averiguar si este es equivalente a la forma cuadrática en la que la raíz de todo. Esto se logra generalmente esta sustitución: $x$ en el número de $x+ty$ Olvidé de decir. Los caracteres dentro de los corchetes no dependen de la señal de la ecuación de Pell.

Depende sólo antes de $\pm{1}$

El algebraicas enfoque es mejor, porque nos permite responder a estas preguntas para que Diophantos la geometría en General sin sentido. Por ejemplo, ¿por qué curvas para triangular los números, la resolución de ecuaciones en números enteros siempre está ahí. Si alguno de los coeficientes.

La solución existe. Curvas de números triangulares.

Para convencer a los partidarios de Diophantos de la geometría no es posible. Aunque creo que una puramente algebraica enfoque nos permite escribir la fórmula para las soluciones de la ecuación. Y en este caso todo se reduce a la solución de la ecuación de Pell. Y esta es una tarea estándar y normalmente se resuelve.