¿Pregunta sobre una base para una topología frente a la topología generada por una base?

Question

Esta es una pregunta muy básica (sin juego de palabras......no? Ok...) sobre lo que significa ser una base para una topología.

Esto es lo que sé: Si $(X, \mathcal{T})$ es un espacio topológico, y $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$ es una base para $\mathcal{T}$ entonces sabemos por definición de base que lo siguiente es cierto:

1. Por cada $x \in X$ , $x \in B$ para algunos $B \in \mathcal{B}$ .
2. Si $x \in B_{1} \cap B_{2}$ para algunos $B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}$ entonces $\exists B_{3} \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_{3} \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ .

Además, sé que si tenemos una base $\mathcal{B}$ para una topología $\mathcal{T}$ entonces la topología generada por la base, $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ consiste en todas las posibles uniones de elementos de $\mathcal{B}$ .

Esta es mi pregunta: Quiero demostrar que si $\mathcal{B}$ es una base para $\mathcal{T}$ entonces $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ . Mostrar $\mathcal{T}_{\mathcal{B}} \subseteq \mathcal{T}$ es muy fácil. Para mostrar $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T_{\mathcal{B}}}$ se basa en algún "hecho" que no sé demostrar: que si $U \in \mathcal{T}$ y $x \in U$ , $\exists B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subseteq U$ .

¿Cómo puedo demostrar que para cualquier $U \in \mathcal{T}$ , $\exists B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subseteq U$ ? No veo cómo se deduce este hecho de la definición de base. Y sin este hecho, no puedo demostrar que $\mathcal{T} = \mathcal{T_{\mathcal{B}}}$ .

Answer 1

Estoy respondiendo a mi propia pregunta porque tengo una respuesta clara:

Cuando la definición de una "base", comenzamos con un conjunto $X$. No podemos definir una topología en él antes de que nos definen $\mathcal{B}$ axiomáticamente.

Un conjunto de subconjuntos de $X$, $\mathcal{B}$, se dice que es una base para el conjunto de $X$ si las dos condiciones siguientes:

(i) $\forall x \in X$, $\exists B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B$

(ii) Dado $B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}$ si $\exists x \in B_{1} \cap B_{2}$,, a continuación, $\exists B_{3} \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_{3} \subseteq B_{1} \cap B_{2}$

Ahora que hemos definido lo que significa para un conjunto $\mathcal{B}$ de los subconjuntos de $X$ a ser una base para el conjunto de $X$, podemos definir a la $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$, la topología generada por $\mathcal{B}$, como el conjunto de todas las uniones de los elementos de la $\mathcal{B}$. Es decir, un conjunto $U$ está abierto en $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ si se trata de una unión de elementos de $\mathcal{B}$. Es fácil demostrar que esta es una topología.

Ahora, si comenzamos con una topología $\mathcal{T}$ sobre un conjunto $X$, y podemos decir $\mathcal{B}$ es una base para la topología $\mathcal{T}$, esto se define como $\mathcal{T}$ siendo de hecho la topología $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$, el conjunto de todas las uniones de los elementos de la $\mathcal{B}$.

Si $(X, \mathcal{T})$ es un espacio topológico, es posible tener un conjunto $\mathcal{B}$ de los subconjuntos de $X$ satisface las dos propiedades que hacen que sea una base para el conjunto de $X$ sin que sea una base para una determinada topología. Pero si $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$, entonces estamos seguros de $\mathcal{T}_{\mathcal{B}} \subseteq \mathcal{T}$. No tenemos la igualdad, a pesar de que, a menos que se nos da también ese $\mathcal{B}$ es una base para $\mathcal{T}$.

Aquí está un ejemplo de un espacio topológico en el que una base para el conjunto de $X$ está contenida en la topología de $X$, pero no es una base para la topología. Deje $(X, \mathcal{T}) = (\mathbb{R}, \mathcal{T}_{\text{indisc}})$ donde $\mathcal{T}_{\text{indisc}}$ es la topología indiscreta (es decir, $\mathcal{T}_{\text{indisc}} = \{ X , \emptyset \}$). Luego ya que cada topología actúa como una base para sí mismo, $\mathcal{T}_{\text{indisc}}$ es una base para sí mismo, y es también una base para el conjunto de $X$. Sin embargo, esta base para el conjunto de $X$ está contenido en $\mathcal{T}_{\text{disc}}$, la topología discreta, pero no una base para la topología discreta.

Así, el punto principal aquí es que a la hora de definir una base para el conjunto de $X$, es independiente de cualquier topología en $X$. Pero en caso de elementos de la base de estar en una topología, entonces la topología generada por la base es un subconjunto de la topología original. Por otra parte, si decimos que la base es una base para la topología original, por definición, esto significa que la topología original es igual a la topología generada por la base.

Answer 2

Acabo de comprobar Munkres - hizo todo bien - pero sólo para aclarar:

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En principio hay dos problemas:

a. Dada una colección $\mathcal{B}$ . Entonces $\langle\mathcal{B}\rangle$ es una topología si satisface la caracterización: $$\forall x\in X\exists B_x\mathcal{B}:\quad x\in B_x$$ $$\forall B,B'\in\mathcal{B}\forall x\in B\cap B'\exists B_x\in\mathcal{B}:\quad x\in B_x\subseteq B\cap B'$$ b. Dada una colección $\mathcal{B}$ y una topología $\mathcal{T}$ . Entonces $\langle\mathcal{B}\rangle=\mathcal{T}$ si cumple el criterio: $$\forall U\in\mathcal{T}\forall u\in U\exists B_u\in\mathcal{B}\subseteq\mathcal{T}: u\in B_u\subseteq U$$

Obsérvese que, aunque ambos problemas son conceptualmente similares, se resuelven de forma muy distinta.