Detalle en la comprobación de la existencia de productos tensoriales.

Question

Estoy leyendo la prueba de que el Tensor existen productos (Prop 2.0.2) en la página 393 de Paul Garrett Álgebra Abstracta (la página 5 de este pdf). Un par de líneas en la prueba que dice

Dado un bilineal mapa de $\varphi:M \times N \to X$, por las propiedades de la libre módulos hay un único....

Por desgracia, no sé qué propiedades de libre se utilizan los módulos para que esa declaración. He estudiado algo módulo básico de la teoría de antes, así que quizás yo sólo necesitan que se les recuerde lo correcto, o tal vez tengo que aprender más. Por favor alguien puede decirme a qué me estoy perdiendo?

Answer 1

¿Cuál es tu favorita de las propiedades de los espacios vectoriales? Seguramente se debe a que, para definir una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ a otro espacio,$W$, todo lo que tienes que hacer es elegir una base $B$ para $V$ y, a continuación, especificar la ubicación de la base de vectores ir. Una vez hecho esto, usted tiene definida de forma única una transformación lineal $V \to W$ (esto es llamado generalmente se extiende por la linealidad).

No es un término técnico para esta propiedad: se dice $V$ es "libre" en la $B$.

Un módulo comparte esta propiedad con espacios vectoriales. Cuando el autor dice que $F$ es gratis en la $M\times N$, quiere decir que si se le da otro módulo $X$ y desea definir un $R$-lineal mapa de $F \to X$, todo lo que tienes que hacer es elegir un destino (en $X$) para los elementos de $M\times N$. Esto equivale a la elección de una función de $\phi:M \times N \to X$ (en este caso no es sólo una función de conjunto, pero bilineal demasiado). Una vez que haya elegido un destino para los elementos de $M\times N$, que se extienden por la linealidad a un único $R$-lineal mapa (él la llama $\Phi$).

Answer 2

Tenga en cuenta que$F$ se define como el módulo libre en el conjunto$M\times N$, es decir,$F=\{r_1x_1+\cdots+r_nx_n : x_1,\ldots,x_n\in M\times N\}$. Defina$\Psi:F\to X$ por$\Psi(r_1 x_1+\cdots+r_1x_n)=r_1\varphi(x_1)+\cdots+r_n\varphi(x_n)$. Tenga en cuenta que dado que$i(x)=x$, el diagrama es conmutativo, y que para cualquier$\Psi'$ por el cual el diagrama se conmuta, debemos tener$\Psi'(x)=\varphi(x)$ para que$$\Psi'(r_1x_1+\cdots+r_nx_n)=r_1\Psi'(x_1)+\cdots+r_n\Psi'(x_n)=r_1\varphi(x_1)+\cdots+r_n\varphi(x_n)$ $ sea$\Psi'=\Psi$.