Conjugación hermitiana en cuantificación radial

Question

Estoy un poco confundido sobre la conjugación hermitiana en una CFT cuantificada radialmente. Ahora bien, en la teoría de Minkowski, la conjugación hermitiana deja invariantes las coordenadas, es decir $t^\dagger = t$ y $x^\dagger = x$ . A continuación, giramos la teoría de Wick al tiempo euclidiano $t \to - i \tau$ y por lo tanto $\tau^\dagger = - \tau$ . A continuación, definimos las coordenadas complejas en el plano euclidiano $w = x + i \tau$ y ${\bar w} = x - i \tau$ . El conjugado hermitiano de actúa sobre esta coordenada como $w^\dagger = w$ y ${\bar w}^\dagger = {\bar w}$ . En el plano radial con $z = e^{- i w}$ obtenemos $$ z^\dagger = e^{i w^\dagger} = e^{i w} = \frac{1}{z} $$

Sin embargo, Francesco dice explícitamente (pág. 152, arriba de la ecuación (6.4)), que $z^\dagger = \frac{1}{z^*}$ .

¿En qué me estoy equivocando? ¿Alguien puede explicar esto?

Answer 1

El mismo resultado se da en Kiritsis, así que no creo que sea una errata. Esto es lo que creo que ocurre. La conjugación hermitiana es una operación definida para los operadores sobre el espacio de Hilbert. Como has dicho, en el espacio de Minkowski, esto deja las coordenadas invariantes, no toca t y x. En otras palabras, si en lugar de eso utilizara la coordenada $z=t+ix$ en la teoría de Minkowski, cuando conjugo los operadores hermitianos sigo sin tocar z (no va a $t-ix$ ). Como ha dicho, cuando Wick gira $\tau=it$ La conjugación hermitiana adquiere también un significado geométrico: es la inversión del tiempo. Así que en la teoría euclidiana, cuando se conjuga la Hermitiana, también se hace una inversión del tiempo. No se conjuga toda la coordenada z, sólo se envía $\tau \to -\tau$ . Por supuesto, en la cuantificación radial $r=e^\tau$ a la inversión del tiempo equivale a la inversión a través del círculo, que en coordenadas complejas es $z\to \frac{z}{zz*}=\frac{1}{z*}$ . Así que creo que su paso $w^\dagger=w$ está mal, quieres $\dagger:\tau-ix \to -\tau-ix$ . Esto le dará la relación correcta.

Esto está básicamente relacionado con el hecho de que en la cuantificación radial, la conjugación hermitiana es equivalente a la inversión. Por ejemplo $(P^\mu)^\dagger=IP^\mu I=K^\mu$ . Por eso se necesita la conformación (no sólo la invariancia de escala) para ir al plano desde el cilindro: Si no se tiene $K^\mu$ no se puede construir una operación adyacente sensata en el plano.