Aproximación de una función compleja medible puntualmente en casi todas partes mediante polinomios

Question

Este es el Ejercicio 13.12 en Análisis Real y Complejo de Rudin:

Sea $f$ sea una función medible de valor complejo definida en $\mathbb{C}$ . Entonces hay una secuencia de polinomios $P_n$ tal que $\lim_{n\to\infty}P_n(z) = f(z)$ casi en todas partes.

A mi amigo y a mí nos parece interesante este ejercicio. Podemos demostrarlo para el caso $f$ es la función característica de un disco abierto (o cerrado). Pero no sabemos cómo seguir a partir de aquí. ¿Alguien podría darnos alguna pista?

Editar : Aquí expongo algunas de mis ideas:

• En primer lugar, debemos resolver para el caso $f$ es la función característica de un dics (o rectángulo) abierto. Hecho .

• En segundo lugar, resuelve el caso $f$ es la función característica de un conjunto medible. (Me atasco en este paso).

• Tercero, resolver el caso $f$ es una combinación de dos funciones características, por lo que creo que el argumento funcionará para un simple función. (Todavía tengo dificultades aquí, un polinomio aproxima una función característica puede ser muy diferente a otra función característica).

• ...

Answer 1

En primer lugar, por construcciones estándar de la teoría de medidas existe una secuencia de funciones simples $$\phi_n = \sum_{k=1}^{m_n} a_{k,n} \chi_{R_{k,n}}$$ convergiendo hacia $f$ a.e., donde $R_{k,n}$ son rectángulos abiertos, $R_{k,n} \cap R_{j,n} = \emptyset$ para $k \ne j$ y tal que $\bigcup_{k=1}^{m_n} \overline{R_{k,n}} = [-n,n]^2$ . Sea $$\Omega_n := \bigcup_{k=1}^{m_n} R_{k,n}.$$ Entonces $\Omega_n$ es abierta con complemento conexo, $\phi_n$ es analítica en $\Omega_n$ ya que es constante en cada componente conexo, y la medida de $[-n,n]^2 \setminus \Omega_n$ es cero. Por el teorema de aproximación de Runge existe una secuencia de polinomios complejos $P_{j,n}$ con $P_{j,n} \to \phi_n$ localmente uniforme en $\Omega_n$ comme $j\to\infty$ . Por tanto, existe un polinomio $P_n = P_{j_n,n}$ tal que la medida del conjunto $$E_n := \left\{ z \in [-n,n]^2 : |P_n(z) - \phi_n(z)| \ge \frac1n\right\}$$ es $\le 2^{-n}$ . Por un argumento de Borel-Cantelli esto implica que para casi todo $z\in \mathbb{C}$ existe $N=N(z)$ tal que $|P_n(z)-\phi_n(z)| < 1/n$ para $n \ge N$ . Desde $\phi_n \to f$ a.e., esto demuestra $P_n \to f$ a.e.