No olvide que usted tiene $t$ también en el interior del integrando. Usted puede lidiar con esto en varias formas diferentes.
La manera más simple aquí es escribir $$\int_{-\infty}^t(t-\tau)u(\tau)d\tau = t\int_{-\infty}^tu(\tau)d\tau - \int_{-\infty}^t\tau u(\tau)d\tau$$
Ahora, tomando la derivada usando la regla del producto que usted consigue
$$\frac{d}{dt}\left(\int_{-\infty}^t(t-\tau)u(\tau)d\tau\right) = \int_{-\infty}^tu(\tau)d\tau + t \frac{d}{dt}\left(\int_{-\infty}^tu(\tau)d\tau\right) - \frac{d}{dt}\left(\int_{-\infty}^t\tau u(\tau)d\tau\right)$$
y utilizar el teorema fundamental del cálculo (véase también el de Andre respuesta aquí).
La otra forma de hacerlo es utilizar Leibniz regla que dice que
$$\frac{d}{dt} \int_a^t f(t,\tau) d\tau = f(t,t) + \int_a^t \frac{\partial }{\partial t}f(t,\tau) d\tau$$
donde para su caso $f(t,\tau) = (t-\tau)u(\tau) \to \frac{\partial}{\partial t} f(t,\tau) = u(\tau)$. En cualquier caso, si se hace correctamente, usted debe terminar con $\int_{-\infty}^tu(\tau)d\tau$ como la respuesta final.
${\bf Edit:}$
Como una respuesta anterior que ahora se elimina trató de decir: no importa que el su $-\infty$ en el límite inferior de la integral, usted todavía puede usar el teorema fundamental del cálculo. Para ver esto de escribir (para cualquier $a$) $$\int_{-\infty}^t g(x) dx = \int_{-\infty}^a g(x) dx + \int_{a}^t g(x) dx$$
y ahora toma la derivada para obtener
$$\frac{d}{dt}\left(\int_{-\infty}^t g(x) dx\right) = g(t)$$
puesto que la derivada de la primera legislatura (que es una constante) se desvanece.
