En el fin de la teoría, tenemos el concepto de una celosía, que se define como consta de un conjunto subyacente $L$ junto con dos operaciones binarias $\wedge$ e $\vee$. Ahora, cuando $L$ es finito, el concepto de una red de grandes obras. Por ejemplo, si $X$ es un conjunto finito, entonces el entramado generado por el singleton de $\mathcal{P}(X)$ es $\mathcal{P}(X)$. Sin embargo, si $X$ es infinito, entonces este no es el caso. Por lo tanto, un concepto más útil en el caso infinito es el concepto de un completo entramado, que consiste en un conjunto subyacente $L$ junto con dos unario operación $\bigwedge$ e $\bigvee$ definido en el powerset de $L$. Efectivamente, tenemos que para $X$ un conjunto arbitrario, no necesariamente finita, el entramado generado por el singleton de $\mathcal{P}(X)$ es $\mathcal{P}(X)$.
Yo creo que espacios vectoriales tienen problemas similares a las rejillas. Cuando un espacio vectorial es finito-dimensional, todo es genial. Sin embargo, para el infinito-dimensional queridos, realmente necesitamos algún tipo de unario suma operador $\sum.$
He aquí un ejemplo donde esto realmente no importa. Permite adoptar, por el momento, todas las definiciones usuales (en particular, vamos a la base y la combinación lineal de la media de lo que suelen decir, etc.) y permitir $V$ para denotar el espacio vectorial de todas las funciones
$$[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.$$
Además, de considerar a la familia $e : [0,1] \rightarrow [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ tal que para todos los $i \in [0,1]$ todos los $x \in [0,1]$ tenemos $$x = i \rightarrow e_i(x) = 1,\quad x \neq i \rightarrow e_i(x) = 0.$$
De ello se desprende que $e$ no puede abarcar $V$, ya que sólo aquellas funciones $[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ con finito de apoyo se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de $e$. Por lo $e$ no es una base para $V$.
Sin embargo, es obvio cómo escribir de la función $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ como un "infinitary" combinación lineal usando $e$. Es decir,
$$f = \sum_{i \in [0,1]} f(i)e_i.$$
Así que creo que necesitamos una noción de "completo espacio vectorial," es decir, un espacio vectorial equipado con un infinitary suma operador $\sum$ sujeto a ciertas restricciones razonables. Además, conceptos como la "combinación lineal" y "base" que realmente deben ser definidos de manera diferente en un espacio vectorial, porque infinitas sumas están permitidos.
Sin embargo, no queda claro cómo formalizar esta idea.
Alguien ha tenido éxito en la formalización de la noción de un "espacios vectoriales"?
Discusión. Empecemos por constatar que este no es probablemente un topológica de la idea, por la siguiente razón. Supongamos $X$ es un conjunto, es posible infinita, y $K$ es un campo no equipados con cualquier topología particular. Entonces no debería existir un "espacio vectorial" de todas las funciones $X \rightarrow K$. Sin embargo, tan lejos como puedo ver, no hay ninguna topología en la vista.
En segundo lugar, si $V$ es un completo espacio vectorial sobre un campo $K$, entonces no está claro cuál es el dominio de $\sum$ debe ser. Tomando el dominio como $\mathcal{P}(V)$ no va a funcionar; después de todo, si $x \in V$ es distinto de cero, no queremos a la demanda que la suma de $\{kx \mid k \in K\}$ existen. Eso sería demasiado pedir! Así que el dominio de $\sum$ realmente necesita para ser un subconjunto de $\mathcal{P}(V).$ en Realidad, esto no es realmente lo más natural. Sería mejor si el dominio de $\sum$ eran un subconjunto de la colección de todos los multisets en $V$.
