Perfecto clase de morfismos cerrado bajo retrae?

Question

Supongamos que estamos trabajando en un presentable clase de morfismos $\mathcal{C}$. Una clase de morfismos $P$ se dice perfecto si :

1) La clase de $P$ contiene todos los isomorphisms.

2) La clase de $P$ statisfies de dos a tres de la propiedad.

3) se cierra bajo filtrada colimits.

4)existe un conjunto $P_0 \subseteq P$ tal que todos los morfismos en $P$ puede ser obtenido como un filtrado colimit de morfismos en $P_0$.

Entonces la pregunta es: es perfecto clase de morfismos cerrado bajo retrae? He tropezado con algunas ocurrencias en las que parece que están usando este hecho, pero no puedo administrar para producir una prueba. Yo estaba pensando que el uso de los dos primeros axiomas sería sencillo para mostrar pero estoy atascado...

Answer 1

No seguir a partir de los dos primeros axiomas. En su lugar, debe utilizar que cualquier retraer puede ser escrito como un filtrado colimit. Dada una fracción de epimorphism $(h,k): f\to g$ en la flecha de la categoría con la división de las $(i,j)$, podemos escribir $g$ como el colimit de la filtrada diagrama de $f\to f\to f\to...$, donde cada mapa es $(ih,jk)$. Este no es especial a la flecha de la categoría, y utiliza ninguno de propiedades 1,2,4: cualquier categoría cerrado bajo filtrada colimits es cerrado bajo tiraje.