$X_k$'s son i.yo.d. Supongamos $X_k$ es simétrica y $E[|X_k|^{3/4}]<\infty$. Tenemos $S_n/n \rightarrow 0$ en la probabilidad o casi seguro, donde $S_n$ es la suma parcial.
Respuesta
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No.
Tome el estándar de la distribución de Cauchy: $$\newcommand{\rd}{\,\mathrm{d}} \mathbb E |X|^{3/4} = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{x^{3/4}}{\pi (1+x^2)} \rd x= \csc(\pi/8) < \infty \>, $$ pero $S_n/n$ es la igualdad en la distribución de a $X$. Es decir, es también estándar de Cauchy no importa cuán grande $n$ se convierte en.
Más en general, tenga en cuenta que este mismo contraejemplo funciona para cualquier $0 < p < 1$ desde $$ \frac{\pi}{2} \mathbb E|X|^p = \int_{0}^\infty \frac{x^p}{1+x^2} \rd x \leq 1 + \int_{1}^\infty x^{p-2} \rd x = \frac{2-p}{1-p} < \infty \> . $$
