Desigualdad integral para funciones armónicas: $\frac{\int_{|w|=1}u^2(Rw)dS(w)}{\int_{|w|=1}u^2(rw)dS(w)}\leq \left(\frac{R}{r}\right)^{2N(R)}$

Question

$u$ sea una función armónica no nula sobre la bola de radio $1$ centrado en el origen, $B_1(0)$ en $\mathbb{R}^n$ . Vamos a poner para $0<r<1$ : $$N(r)=\frac{r\int_{B_r(0)}|\nabla u|^2dx}{\int_{\partial B_r(0)}u^2dS(x)}$$ Entonces

(1) $N(r)$ es no decreciente en $r$ .

(2) $\lim\limits_{r\to 0^+}N(r)=?$

(3) Para $0<r<R<1$ tenemos $$\frac{\int_{|w|=1}u^2(Rw)dS(w)}{\int_{|w|=1}u^2(rw)dS(w)}\leq \left(\frac{R}{r}\right)^{2N(R)}$$

Mi intento : Tras el cambio de variables y por el teorema de la divergencia de Gauss llegué a $$N(r)=\frac{r\int_{|w|=1}u(rw)\nabla u(rw)\cdot wdS(w)}{\int_{|w|=1}u^2(rw)dS(w)}$$ . Diciendo $g(r)=\int_{|w|=1}u^2(rw)dS(w)$ vemos desde $u$ es armónico su analítico en $B_1(0)$ así $g$ es analítico en $(0,1)$ . Ahora bien, si suponemos $u(0)\neq 0$ entonces por el Teorema de Convergencia Dominante, obtengo $\lim_{r\to 0^+}N(r)=0$ . Si $g^{(k)}(0)\neq 0$ para la primera $k$ en la serie de potencias de $g$ , entonces por L'Hospital obtengo $\lim_{r\to 0^+}N(r)=\frac{k}{2}$ . Todavía no he podido mostrar $N(r)$ es no decreciente. ¿Alguna idea para abordar (1)-(3)?

He llegado a la siguiente desigualdad que demostraría (1) si lo siguiente es cierto $$\int_{B_1(0)}|\nabla u(rw)|^2\cdot\int_{\partial B_1(0)}u^2(rw)+2r\int_{\partial B_1(0)}\left[u(rw)\sum_{1\leq i,j\leq n}w_iw_ju_{x_ix_j}(rw)\right]\cdot\int_{\partial B_1(0)}u^2(rw)\geq \frac{r}{2}\left[\int_{B_1(0)}|\nabla u(rw)|^2\right]^2$$

Answer 1

Log-convexity

Centrémonos en la cantidad $$ f(r) = r^{1-n}\int_{\partial B_r } u^2 $$ que, hasta la normalización, es la media de $u^2$ en la esfera de radio $r$ . La derivada de la media con respecto a $r$ es sólo la media de la derivada normal de $u^2$ Es decir $$ f'(r) = r^{1-n} \int_{\partial B_r} 2u \frac{\partial u}{\partial n} $$ Desde $$ \int_{\partial B_r} u \frac{\partial u}{\partial n} = \int_{B_r}\operatorname{div}\left(u\nabla u\right) = \int_{B_r}\left(|\nabla u|^2 + u\Delta u\right) = \int_{B_r} |\nabla u|^2 $$ la conclusión es que $$ N(r) = \frac{1}{2} \frac{rf'(r)}{f(r)} = \frac12 \frac{d\log f}{d\log r} $$ La propiedad que $N$ es no decreciente es equivalente a $\log f$ siendo una función convexa de $\log r$ .

La parte que no me gusta

Una función armónica en una bola puede expandirse en polinomios armónicos homogéneos: $u= \sum_{k=0}^\infty p_k$ donde cada $p_k$ es un polinomio armónico, homogéneo de grado $k$ . Además, $p_k$ son mutuamente ortogonales cuando se integra sobre una esfera. Todo esto nos dice que $$ f(r) = \sum_{k=0}^\infty r^{1-n} \int_{\partial B_r } p_k^2 $$ Pero para cada $k$ la función $r^{1-n} \int_{\partial B_r } p_k^2$ es sólo un múltiplo constante de $r^{2k}$ debido a la homogeneidad. Su logaritmo es $2k\log r + C$ que es una función convexa de $\log r$ . Queda por utilizar el hecho de que la suma de funciones log-convexas es log-convexa para concluir que $f$ es una función log-convexa de $\log r$ como se ha afirmado.

Limitar como $r\to 0$

Dejemos que $j$ sea el índice más pequeño para el que el polinomio homogéneo $p_j$ no es idéntico a cero. Entonces $p_j$ domina la integral sobre $\partial B_r$ cuando $r$ es pequeño, lo que significa que al calcular $\lim_{r\to 0} N(r)$ podemos centrarnos en $p_j$ . Con $u$ sustituido por $p_j$ la relación $N(r)$ es exactamente $j$ ; así que ese es el límite.

En otras palabras, es el orden de desaparición de $u$ en el centro de la bola.

Desigualdad (3)

Tomar el logaritmo de ambos lados: la desigualdad se convierte en $$ \log f(R) - \log f(r) \le 2N(R) (\log R-\log r ) $$ o de forma equivalente $$ \frac{\log f(R) - \log f(r)}{ \log R-\log r } \le 2N(R) $$ Piensa en el gráfico de $\log f$ con $\log r$ como eje horizontal. La cantidad de la izquierda es la pendiente de la secante sobre el intervalo $[\log r,\log R]$ . La cantidad de la derecha es la pendiente de la tangente en $\log R$ . La desigualdad se cumple por convexidad.

Answer 2

Escribimos $N(r)=\frac{f(r)}{g(r)}$ donde $f(r)=r\int_{B_r}|\nabla u|^2 dx=r\int_{0}^{r}\int_{\partial B_t}|\nabla u|^2 dS dt$ y $g(r)=\int_{\partial B_r}u^2 dS$ . Ahora $N'(r)=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ por lo tanto, calculamos $f'=\int_{B_r}|\nabla u|^2+r\int_{\partial B_r}|\nabla u|^2$ y $g'=\frac{n-1}{r}\int_{\partial B_r}u^2+2\int_{\partial B_r}uu_r$ . Aquí $u_r=\frac{\partial u}{\partial r}$ . Ahora ordenando los términos obtenemos $$f'g-fg'=\int_{\partial B_r}u^2\cdot\left(\int_{\partial B_r}(r|\nabla u|^2-(n-2)uu_r)\right)-2r\left(\int_{\partial B_r}uu_r\right)^2$$

Reclamación : $$\int_{\partial B_r}\left[r|\nabla u|^2-2r(u_r)^2-(n-2)uu_r\right]=0$$ Por el momento asumiendo esto obtenemos $$f'g-fg'=\int_{\partial B_r}u^2\cdot\left(\int_{\partial B_r}2r(u_r)^2\right)-2r\left(\int_{\partial B_r}uu_r\right)^2\geq 0$$ Por Cauchy-Schwartz y $N'(r)\geq 0$ sigue.

Para la reclamación vemos que tomando $$F=|\nabla u|^2 x-2(\nabla u \cdot x)\nabla u-(n-2)u\nabla u$$ y utilizando la divergencia de Gauss $$\int_{\partial B_r}\left[r|\nabla u|^2-2r(u_r)^2-(n-2)uu_r\right]=\int_{\partial B_r}F\cdot \nu=\int_{B_r}\nabla\cdot F=0$$ Ya que por un cálculo directo tenemos $\nabla\cdot F=0$ .