Corolario de la ley de los grandes números

Question

He estado estudiando la Teoría de la Probabilidad por mi cuenta y me he encontrado con la Ley de los Grandes Números, pero no aborda lo que ocurre cuando $E(X_{i})=\infty$ . Básicamente, si $X_1, X_2,...$ son variables aleatorias i.i.d. y $E(X_{i})=\infty$ entonces es $\limsup_{n \to \infty }|\frac{S_n}{n}|$ necesariamente igual a $\infty$ ¿o puede ser finito?

Answer 1

Sea $U_n=S_n/n$ . Entonces la secuencia $(U_n)_{n\geqslant1}$ es casi seguramente ilimitada por abajo y/o por arriba, dependiendo de si la parte positiva $X_1^+$ y/o la parte negativa $X_1^-$ de $X_1$ son integrables o no. Por ejemplo, si ambos $\mathrm E(X_1^+)$ y $\mathrm E(X_1^-)$ son infinitas, entonces, con probabilidad $1$ , $$\limsup\limits_{n\to\infty}\ U_n=+\infty,\qquad\liminf\limits_{n\to\infty}\ U_n=-\infty.$$ Tan pronto como $\mathrm E(X_1^+)$ o $\mathrm E(X_1^-)$ es infinito, entonces, con probabilidad $1$ , $$\limsup\limits_{n\to\infty}\ |U_n|=+\infty.$$ La prueba se deduce de Lema de Borel-Cantelli para cada $x$ la serie $$\sum\limits_n\mathrm P(X_1\geqslant nx)=\sum\limits_n\mathrm P(|X_n|\geqslant nx)$$ diverge por lo tanto $|X_n|\geqslant nx$ infinitamente a menudo, casi con seguridad, para cada $x$ . Escribir $$U_{n+1}=\frac{n}{n+1}U_n+\frac{X_{n+1}}{n+1},$$ esto demuestra que la secuencia $(U_n)_{n\geqslant1}$ realiza infinitos saltos de amplitud al menos $x$ . En particular, $(|U_n|)_{n\geqslant1}$ no puede limitarse por $\frac12x$ lo que demuestra el resultado.