Cómo probar Boole de la desigualdad

Question

Estoy tratando de demostrar Boole de la desigualdad

$$P\left(\ \bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \leq \sum_{i=1}^\infty P(A_i).$$

Me puede mostrar de cualquier finito $n$ el uso de la inducción. Qué hacer para $\infty$ ?

Answer 1

Usted puede utilizar ese $\bigcup_{i=1}^n A_i \uparrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i$ para $n\to\infty$ junto con la continuidad de $P$.

Si quieres hacerlo sin el uso de continuidad, a continuación, utilizar la construcción $$B_1=A_1\quad\text{y}\quad B_n=A_n\setminus \bigcup_{k=1}^{n-1}A_k,\quad n\geq 2$$ para mostrar que $$P \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=\sum_{n=1}^\infty P(B_n)\leq \sum_{n=1}^\infty P(A_n)$$

Answer 2

Usted puede escribir el infinito de la unión como $$\bigcup_{n=1}^\infty A_n = A_1 \cup (A_1 \cap A_2^c) \cup (A_3 \cap A_1^c A_2^c )\cup \ldots$$

Cada uno de estos grupos es distinto, así que usted puede utilizar $\sigma$-aditividad. Ahora acaba de utilizar el hecho de que el $i$th plazo es un subconjunto de $A_i$, y por lo que la probabilidad de la $i$th plazo es menor o igual a la probabilidad de $A_i$.

Disjointness es su mejor amigo en probar este tipo de cosas.

Answer 3

Deje $B_1 = A_1$, y de manera inductiva definir $B_n = A_n \setminus \bigcup_{j=1}^{n-1} B_{n-1}$. A continuación, el $B_n$ son disjuntas y

$$\bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n.$$

Contables aditividad tenemos

$$P(\bigcup_{n=1}^\infty B_n) = \sum_{n=1}^\infty P(B_n).$$

Por monotonía $P(B_n) \leq P(A_n)$. La combinación de estas tres últimas relaciones obtenemos el resultado.