Bonita manera de demostrar la siguiente igualdad?

Question

Hay una buena manera de mostrar que ${d^n\over dx^n}(x^2-1)^n|_{x=1}=2^nn!$? He intentado binomial la expansión de la cosa, a continuación, differntiate término por término, que parece un poco torpe. Tal vez hay una forma cerrada para ${d^n\over dx^n}(x^2-1)^n$? Gracias.

Answer 1

Aplicando la regla del producto en repetidas ocasiones, obtenemos $$ \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(fg)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)} $$ deje $f=(x-1)^n$ e $g=(x+1)^n$, luego en $x=1$, todos los términos, pero el $\binom{n}{0}f^{(n)}g^{(0)}$ plazo son aniquilados por $f^{(n-k)}(1)$. Desde $f^{(n)}(1)=n!$ e $g^{(0)}(1)=2^n$, obtenemos que $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^2-1)^n=2^nn!$

Answer 2

Deje $f(t) = ((1+t)^2 - 1)^n$. Desea $f^{(n)}(0)$. Ahora, a partir de la serie de Maclaurin $f(t) = \sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(0)}{j!} t^j$, $f^{(n)}(0)/n!$ es el coeficiente de $t^n$ en $f(t)$. Pero $f(t) = (2t+t^2)^n = (2 + t)^n t^n$, por lo que el coeficiente de $t^n$ hay $2^n$.

Answer 3

No estoy seguro de cómo hacer que riguroso, pero cuando se toma el $n$ derivados, es necesario aplicar a la $(x^2-1)^n$ plazo cada vez, no a los poderes de la $2x$ que vienen a partir de la diferenciación en el interior. De lo contrario, usted tendrá por lo menos un factor de $x^2-1$ a la izquierda, que le dará $0$. Cada vez que se diferencian de obtener un factor de $2x$ multiplicado por el exponente. El exponente disminuye de $n$ a $1$, dando la $n!$ plazo. Usted termina con $(2x)^n n! + (x^2-1)(stuff)$, en los que se evaluó en $x=1$ da $2^nn!$