Es cada sigma-álgebra generada por algunos variable aleatoria?

Question

Deje $\mathcal{A}$ $\sigma$- álgebra $\Omega$. Hay una función de $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\mathcal{A}=f^{-1}(\mathfrak{B(\mathbb{R})})$? ($\mathfrak{B(\mathbb{R})}$ siendo el campo de Borel en la recta real)

Answer 1

No necesariamente. El Borel $\sigma$-álgebra generada por una contables de la clase de conjuntos medibles, es decir,$\mathcal D:=\{(a,b),a,b\in\Bbb Q\}$. Por la transferencia de la propiedad, $$\mathcal A=f^{-1}(\mathcal B(\Bbb R))=f^{-1}(\sigma(\mathcal D))=\sigma(f^{-1}(\mathcal D)),$$ por lo $\mathcal A$ es generado por una contables de la clase.

Puede no ser el caso, por ejemplo, cuando se $(\Omega,\mathcal A,\mu)=([0,1],2^{[0,1]},\delta_0)$ (no es necesario especificar una medida).