La diferencia entre el $L_1$ e $L_2$ norma?

Question

He estado tratando de entender lo que es la diferencia entre el $L_1$ e $L_2$ norma y no puedo entenderlo.

En esta página tengo una clara comprensión de por qué usaríamos $L_1$ norma (desplácese hacia abajo hasta llegar a la de google maps de la imagen).

Me fui en matlab y calcula la norma de la matriz $A=[3, 7]$ y consiguió que el $L_1$ norma $10$, lo que hace sentido como en el ejemplo anterior. Es la distancia entre el $(0,0)$ e $(3,7)$. Cuando hago la $L_2$ norma llego $7.61\dots$ y, a continuación, $L_3$ es $7.1$ y así sucesivamente hasta que converge a $7$. ¿Qué hacen estos cálculos decir? ¿Por qué son los números cada vez más pequeños y la convergencia a la $7$. En mi intuición no puedo entender ¿por qué la distancia entre el $(0,0)$ e $(3,7)$ ser $10$, pero no puedo entender la necesidad de $L_2$ y que el ser $7.61$. He buscado por todas partes por una intituitive explicación, pero todo lo que veo es cómo calcular la norma, que ya sé cómo hacerlo.

Cualquier razón por qué sería mejor utilizar$L_2$, para calcular la distancia de la magnitud de un vector y por qué es el número más pequeño en $L_2$ de la intituitive caso de $L_1$? Gracias.

Answer 1

El $1$-norma y $2$-norma son muy intuitiva. El $2$-la norma es la noción usual de distancia en línea recta o la distancia 'a vuelo de pájaro': es la longitud de un segmento de línea recta que une los dos puntos. El $1$-norma da la distancia si se puede mover sólo paralelas a los ejes, como si fuera de una intersección a otra en una ciudad cuyas calles van de norte-sur o este-oeste. Por esta razón a veces se llama el taxi norma, y la distancia del taxi de distancia.

El $n$-normas para $n>2$ no corresponde a nada muy intuitiva. Sin embargo, como $n$ aumenta hacen enfoque de la $\infty$-norma, el cual es el máximo de los valores absolutos de las coordenadas. El $\infty$-norma de $(3,7)$, por ejemplo, es el máximo de $|3|$ e $|7|$, que por supuesto es $7$. Para encontrar el $\infty$-norma de la distancia entre dos puntos en el plano, ver lo lejos que están en la dirección este-oeste (en paralelo a la $x$-eje) y lo lejos que están en la dirección norte-sur (paralelo a la $y$-eje), y tomar el mayor de los números. Esto es un poco como el taxi de distancia: es como si sólo hubiera que pagar por su distancia este-oeste o el norte-sur, la distancia, la que sea mayor.

Answer 2

El $L^2$ norma es una simple generalización de la norma norma Euclídea en $\mathbb{R}^n$.

Usted puede preguntar por qué $L^2$ norma es tan bueno, o por qué es tan popular?

La respuesta es simple: la $L^2$ norma es más fácil para jugar, es más fácil realizar manipulaciones con ella, y lo que es quizás la más importante, es fácil de calcular. Buenas propiedades de que la norma tiene una simple fuente: el $L^2$ norma es una norma inducida por un producto interior en un espacio de Hilbert -$L^2$ es un espacio de Hilbert. Y cuando se trata de un espacio de Hilbert se puede hacer casi cualquier cosa, usted tiene bases ortonormales, proyecciones ortogonales y otros de Hilbert, espacio gadgetery. Esta norma viene con una rica estructura que le permite hacer muchas cosas con facilidad. Ese es el verdadero fundamento de pie detrás de la popularidad de la $L^2$ norma en las aplicaciones.

Answer 3

Aquí está la fórmula para una norma de cualquier número. También existe la Norma de Frobenius.

Answer 4

El $L^2$ norma es de cuervo de la mosca de la distancia y el $L^1$ norma es en taxi de distancia.