Hearthstone Arena Probabilidad

Question

En el juego de cartas en línea, Hearthstone, hay un modo de juego que se llama Arena. Los jugadores que entran en la arena construir cubiertas (comúnmente conocida como la redacción) y jugando hasta ganar 12 partidos o perder 3 partidos. Desde las cubiertas están construidas 'al azar', y los partidos también son aleatorios, podemos asumir que cada jugador tiene un 0.5 de probabilidad de ganar y un 0.5 de probabilidad de perder.

¿Cuál sería la mejor manera de calcular la probabilidad de acabar con exactamente 0 victorias, 1 victoria, 2 victorias, ..., y 12 triunfos? Desde la arena termina después de 3 pierde no son ramas de un árbol binomial de que nunca iba a ocurrir.

es decir Completar 3 partidos tienen los siguientes resultados posibles. WWW, WWL, WLW, WLL, LLL, DAB, LWL, LWW. Desde la liga de la leche cumple con los 'perder 3 partido requisito de' LLLL y LLLW no puede ocurrir. Igualmente, durante la 5ª ronda, WLLLW, WLLLL, LWLLW, LWLLL, LLWLW, LLWLL, LLLWW, LLLWL, LLLLWL, LLLLL no puede ocurrir.

Answer 1

Nos fijamos en la probabilidad de $k$ gana, donde $k\lt 12$.

Esto sucederá si jugamos $k+3$ juegos, pierden $2$ de la primera $k+2$, y perder la última. La probabilidad es $$\binom{k+2}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+2}\cdot\frac{1}{2}.$$

El caso de $k=12$ es un poco diferente. Uno puede encontrar la probabilidad restando la suma de los anteriores calcula las probabilidades de $1$. O bien (mejor) podemos dividir en los casos de: (i) sin pérdidas: (ii) $1$ de pérdida; (iii) $2$ de pérdidas. El primero es muy fácil, y el análisis de los otros dos es como el anterior.

La misma idea se encargará de situaciones donde podemos ganar a cualquier juego con una probabilidad de $p$, y pierde con probabilidad de $1-p$.

Answer 2

Sugerencia: digamos que usted termina con exactamente 5 victorias. ¿Qué significa eso? Bien, usted ha ganado 5 partidos y perdido 3. También, el 3 de pérdida se produjo en el 8º juego. Así, tenemos que organizar de 5W y 2L de la. De cuántas maneras puede hacerse?

Un análisis Similar se puede aplicar a la n de la gana, donde $0 \leq n \leq 12$