Es posible que alguien me explique el significado de Brouwer del Teorema de Punto Fijo?

Question

Bueno, he estado leyendo la prueba de Sperner del Lema y su uso en la comprobación de Brouwer del Teorema de Punto Fijo (incluyendo el Café stiffing analogía ;-)). Pero no entiendo la importancia de este teorema. Es posible que alguien me explique cómo puede ser aplicado en otras aplicaciones importantes?

Answer 1

Gérard Debreu y Kenneth Arrow utilizado para probar algunos de los resultados que se llevó un premio Nobel en economía. Creo que es bastante significativo en sí mismo.

Answer 2

El número de puntos fijos de un mapa es uno de los más fáciles de invariantes topológicos para definir, sin embargo, tiene una sorprendente cantidad de información topológica. Por ejemplo, si $X$ es de un colector y $f$ es una función continua de la $X$ dentro de sí misma que es obtenida por ligeramente inquietante el mapa de identidad de $X$, entonces el número de puntos fijos (se cuenta con adecuada multiplicidades) es igual a la característica de Euler $\chi(X)$. Por ejemplo, un infinitesimal de rotación de la esfera tiene dos puntos fijos, de modo que la esfera tiene la característica de Euler $2$. Por otro lado, el mismo argumento muestra que la característica de Euler de el toro es $0$. Si $X$ es una Mentira grupo, un infinitesimal de la traducción no tiene puntos fijos, por lo $\chi(X)=0$. Por lo tanto, esto nos da una muy prácticas y concretas sobre la manera de entender la característica de Euler, y tenemos un montón de interesantes resultados aparentemente de forma gratuita. Brouwer el resultado es el primero de una larga línea de muchos.