¿Cuál es el rango de un mapa lineal $T$ en el espacio de $n\times n$ matrices tales que $T(A)=0$ para cualquier matriz simétrica o asimétrica?

Question

Dejemos que $M$ sea el espacio vectorial de todos los $n\times n$ matrices y $T:M\to M$ sea una transformación lineal tal que $T(A) = 0$ , donde $A$ denota todas las matrices simétricas y simétricas sesgadas. Entonces, ¿cuál es el rango de $T$ ? $\mathrm{rank}(T) = \dim(M)-\mathrm{nullity}(T)$ . Dimensión de $M$ es $n^2$ pero ¿cuál es su nulidad?

Answer 1

Una pista: Considerando el caso de $n=2$ Obsérvese que cualquier $2\times 2$ se puede escribir como $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & \tfrac{b+c}{2} \\ \tfrac{b+c}{2} & d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & \tfrac{b-c}{2} \\ \tfrac{c-b}{2} & 0\end{pmatrix}$$ ¿Puede generalizar esta observación? ¿Qué implica esto sobre cómo $T$ actúa sobre cualquier matriz?