Probabilidad de que un dado justo aparezca sesgado

Question

Me interesa la probabilidad de que un dado parezca sesgado cuando, de hecho, es justo. Estoy tratando de derivar un resultado dado, sin pruebas, en YouTube: http://youtu.be/6guXMfg88Z8?t=1m29s

La idea básica es la siguiente: se sospecha que un dado justo de 20 caras está sesgado. En el vídeo se afirma que, si se lanzan los dados 100 veces, hay una probabilidad de 1 entre 50 de obtener un exceso de treses por pura casualidad.

He intentado contar los casos, pero tengo problemas. Digamos que hay $k$ tres, entonces hay

$$\frac{100!}{k! \ (100-k)!}$$

formas de distribuir los triples entre los 100 lanzamientos. La siguiente parte es donde me estoy atascando. Tengo que contar el número de formas de distribuir los otros 19 números entre los restantes $100-k$ lanza. Sospecho que esto puede estar relacionado con el número de particiones de $100-k$ .

Answer 1

La probabilidad de obtener un tres en cualquier tirada es $1/20$ . Por lo tanto, el número de $3$ 's en $n=100$ rollos sigue un $\operatorname{Bin}(100,1/20)$ distribución binomial, es decir $$ P(k\;3's) = \binom{100}{k}(1/20)^k(19/20)^{100-k}. $$ Se esperaría ver, en promedio, $100/20=5$ 3 en 100 tiradas, por lo que la probabilidad de obtener un exceso de 3 sería $$ \sum_{k=6}^{100}{P(k\;3's)}=38.4\%. $$

Si la pregunta sólo pide la probabilidad de que $3$ es el número que ve más a menudo en sus 100 tiradas, entonces la respuesta es obviamente $1/20$ por simetría. Esto se debe a que cada número 1,...20 tiene la misma probabilidad de ser el que sale más veces.