los ceros de $p(z)=z^4+2$

Question

Quiero encontrar todos los ceros de $p(z)=z^4+2$ y no estoy seguro de si he hecho todo correctamente. Puedes corregir esto si algo está mal? $$x^4+2=0 \iff x^4=-2=2\cdot(-1)$$ $$\Rightarrow x_k= \sqrt[4]{2}e^{\frac{i(2k+1)\pi}{4}}$$with $k\in \{0,1,2,3\}$ are the zeros of $p$. Es correcto?

Pregunta adicional: Si quiero determinar todos los ceros de $z^n+a$ con $a\in\mathbb{R}$ e $n\in\mathbb{N}$, son los ceros $$x_k= \sqrt[n]{a}e^{\frac{i(2k+1)\pi}{n}}$$for $k=0,..,.n-1$ en general?

Answer 1

Usted puede factorizar el polinomio $P(Z)=Z^4+2$=$Z^4-(i \sqrt 2)^2$=$(Z^2-i\sqrt 2)$$(Z^2+i \sqrt 2)$ y luego se factoriza los dos factores

$(Z^2-i\sqrt 2)$=$(Z-m\sqrt [4] 2)$$(Z+m\sqrt [4] 2)$ donde m es el complejo squart raíz de $i$, es igual a $(\sqrt 2/2+i\sqrt 2/2$) o (-$(\sqrt 2/2+i\sqrt 2/2$))

y hacer lo mismo con el segundo factor

Answer 2

Es correcto. Ahora, la expresión de $e^{\frac{i(2k+1)\pi}{4}}$ se puede calcular de forma explícita, es $\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \pm i\frac{\sqrt{2}}{2}$, lo que significa que usted puede escribir los ceros en una explícita modo Cartesiano. Yo esperaría a mis estudiantes a hacer esto.