¿Qué es tan especial acerca de radianes? (Diferenciación)

Question

A mí me parece que radianes tienen un montón de propiedades muy especiales que nos permiten hacer matemáticas con funciones trigonométricas. Cuando llegué por primera vez en radianes, me llevó a creer que fueron diseñados exclusivamente para compensar el hallazgo de áreas y longitudes de arco de los sectores más fácil. Pero luego descubrí que:

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$ Es evidente que esto sólo funciona cuando se utiliza radianes. Si usted utiliza grados y encontrar el gradiente de $\sin x$ a $x=0$ se conseguiría que la gradiente $=\frac{\pi}{180}^{\circ}$. Así que mi pregunta es: ¿por qué diferenciar $\sin x$ dar $cosx$ cuando se utiliza radianes? Lo que hace radianes tan especial a este respecto?

Answer 1

No importa que la unidad para los ángulos de utilizar, la derivada del seno serán algunos de los múltiples del coseno.

La medida radián es elegida como la medida del ángulo que hace que la constante de proporcionalidad $1$. Si fuera diferente medida del ángulo que hizo esto nos estaría trabajando con que como el natural de la medida del ángulo en lugar de radianes.

Geométricamente pensar en el seno de un ángulo muy pequeño, es decir, la relación entre el lado corto y la hipotenusa en un muy delgado triángulo rectángulo. Podemos escala de todo el fin de la hipotenusa tiene longitud 1; a continuación, el seno es simplemente la longitud del lado corto.

Así que si queremos $\sin'(0)=1\cdot\cos(0) = 1$ es mejor elegir nuestra medida del ángulo tal que la medida de un pequeño ángulo está cerca de la longitud de ese lado corto.

Ahora, si trazamos un arco circular junto a el lado corto con la hipotenusa como la radio, hasta que se alcanza la extensión del largo de la pierna del triángulo, lo que casi coincide con el lado corto-y el más fino es el triángulo, el mejor coincide.

Y "longitud de arco de un círculo unitario" es claramente aditivos en los ángulos, de modo que funciona como la medición de un ángulo. Por lo tanto, es la medida del ángulo que hace que la derivada del seno en 0 la unidad.

Answer 2

para demostrar que el diferencial de pecado(x) se logra utilizando el hecho de que $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1$$ para demostrar que podemos decir que para un pequeño suficiente absoulte(x) $$sin(x)\leq x \leq tan(x)$$ prueba de ello es el uso de un bit (complicada) de la geometría, que es la única verdadera suponiendo que x está en radianes.

KH es pecado(x)

el arco KA x

y LA es tan(x)

sin embargo, esto no es una prueba, el pleno de la prueba es un poco más complicado.