¿Cómo comprobar si la suma de series infinitas es convergente?

Question

Tengo un ejercicio en el que necesito encontrar si la suma de series infinitas es convergente:

$\sum_{n=1}^ \infty \frac{(\sin^2(x) - \sin (x) +1)^n}{\ln(1+n)}$ para x $\in (\pi/2,\pi)$

Ahora he decidido hacer una prueba de relación para $\frac{|a_n+1|}{a_n}$ pero actualmente estoy atascado en simplificar el resultado y proceder a la solución.

$\frac{(\sin^2(x) - \sin (x) +1)^{n+1}}{\ln(2+n)} \cdot \frac{\ln(1+n)}{(\sin^2(x) - \sin (x) +1)^{n}}$

No estoy muy seguro de cómo proceder a partir de aquí, cualquier ayuda adicional sería apreciada, ¡gracias!

Answer 1

pista

$$\ln(n+2)=\ln\Bigl((n+1)(1+\frac{1}{n+1})\Bigr)$$

El límite de la relación es

$$L=\sin^2(x)-\sin(x)+1$$

pero

$$-1<\sin(x)\Bigl(\sin(x)-1\Bigr)<0$$

así

$$0<L<1$$ la serie es convergente.

Answer 2

Demuestre que si $0<u<1,$ entonces $0<u^2-u+1<1.$ Ahora arreglar $x\in (\pi/2,\pi).$ Entonces $0<\sin x <1.$ De lo anterior, $0<\sin^2 x - \sin x + 1 <1.$ Por lo tanto,

$$\sum_{n=1}^{\infty} (\sin^2 x - \sin x + 1)^n$$

es una serie convergente positiva. Dividiendo por $\ln (n+1)$ sólo ayuda. Así, su serie converge para todos $x\in (\pi/2,\pi).$

Answer 3

Como alternativa por prueba de raíz

$$\sqrt[n]{\frac{(\sin^2(x) - \sin (x) +1)^n}{\ln(1+n)}}\to\sin^2(x) - \sin (x) +1$$

y en el intervalo

$$0<\sin^2(x) - \sin (x) +1<1$$

Answer 4

PRUEBA PARCIAL

Encuentra el radio de convergencia de la serie $\frac{|a_{N+1}|}{|a_N|}$ = $\left|\frac{\left(\ln\ \left(n+1\right)\right)}{\ln\left(n+2\right)}\left(\sin x^2-\sin x+1\right)\right|$

A medida que n tiende a ∞, Usando la regla de L'Hospital,

$\frac{|a_{N+1}|}{|a_N|}$ = $\left|\frac{\left(\left(n+2\right)\right)}{n+1}\left(\sin x^2-\sin x+1\right)\right|$

\= $\left|\left(\sin x^2-\sin x+1\right)\right|$ (A medida que n tiende a ∞)

Debe ser <1 para que la serie converja

Por lo tanto,

$\left|\left(\sin x^2-\sin x+1\right)\right|<1$ para que la serie converja

Demuestra que el intervalo se encuentra en estos valores.