Un extraño "patrón" en la continuidad de la fracción convergents de pi?

Question

Desde la simple continuación de la fracción de $\pi$, se obtiene el convergents,

$$p_n = \frac{3}{1}, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}, \frac{104348}{33215}, \frac{208341}{66317}, \frac{312689}{99532}, \frac{833719}{265381}, \frac{1146408}{364913}, \dots$$

comenzando con $n=1$, donde los numeradores y denominadores son A002485 y A002486, respectivamente. Si se miran fijamente lo suficientemente duro, un patrón surgirá entre tres consecutivos convergents. Definir,

$$a_n,\,b_n,\,c_n = p_{n}-3,\;\; p_{n+1}-3,\;\; p_{n+2}-3$$

$$v_n=\text{Numerator}\,(a_n)\,\text{Numerator}\,(b_n)$$

a continuación, para , incluso, $n \ge 2$,

$$F(n) = \sqrt{\frac{a_n c_n}{a_n-c_n}-v_n}=\text{Integer}\, (often)$$

Por ejemplo, para $n = 2$,

$$a_2,\,b_2,\,c_2, = \frac{22}{7}-3,\; \frac{333}{106}-3,\; \frac{355}{113}-3$$

$$F(2) = 1$$

De manera más general,

$$\begin{array}{cc} n&F(n) \\ 2&1 \\ 4&16\\ 6&4703\\ 8&14093\\ 10&51669\\ 12&122126\sqrt{2}\\ 14&7468474\\ 16&\frac{18549059}{\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

y así sucesivamente. Incluso para $n<100$, me encontré con la mitad de la $F(n)$ fueron ya sea entero o de medio entero. (Y de todos los no-enteros fueron de forma $N\sqrt{d}$ para algunos muy pequeños d.)

Algunas preguntas:

1. Para $n<500$, $n<1000$, etc, ¿cuántas $F(n)$ son enteros o media enteros?
2. Lo que es más importante, ¿por qué es $F(n)$ a menudo un número entero?

Answer 1

El $q_n = p_n-3$ son convergentes fracciones de $\pi-3$ (realmente no importa para hacer este cambio por el camino, podría haber empezado directamente de $\pi$, sólo mediante la selección de $n \ge 3$ extraño en lugar de $n \ge 2$ incluso)

3 consecutivos convergente de las fracciones de la forma $\frac ab, \frac cd, \frac{a+kc}{b+kd}$ para algunos enteros $a,b,c,d,k$ $ad-bc=1$ (porque elegimos $n$, incluso).

$F(n) = \sqrt{\frac {a(a+kc)}{a(b+kd)-b(a+kc)}-ac} = \sqrt{\frac{a^2+kac}k-ac} = a/\sqrt k$

Desde la página de wikipedia de $\pi$ sólo puedo ver la primera $3$ relevante $k$, y todos ellos son $1$, lo $F(n) = numerator(a_n)$ $n=2,4,6$ al menos.