Problema del péndulo cónico, cuerda elástica

Question

Me he encontrado con el siguiente problema en un antiguo examen de un curso universitario en el que estoy. Se trata de un péndulo cónico con una cuerda elástica:

Intenté una solución, y obtuve 10000 por mi respuesta, que estaba en la lista (a). Sin embargo, tengo algunas preguntas sobre la solución, a saber, no parece tener sentido físico para mí. En primer lugar, aquí está mi solución:

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Dejemos que $\theta$ sea el ángulo entre la cuerda y la vertical. Entonces $T_{\text{horizontal}}=T\sin\theta$ . La bola describe un movimiento circular, con aceleración $r\omega^2$ Por lo tanto

$$T\sin\theta = mr\omega^2.$$

A partir de la geometría, podemos ver que $r=L\sin\theta$ , $L$ siendo la longitud de la cadena. $L=L_0+\frac{T}{k}$ Por lo tanto

$$T\sin\theta=m\bigg(L_0+\frac{T}{k}\bigg)\sin\theta\cdot\omega^2.$$

Desde $\sin\theta$ no es igual a $0$ entre $0$ y $\pi/2$ rad ( $0\text{ to }90^\text{o}$ ), podemos dividir ambos lados por $\sin\theta$ ,

$$T=m\bigg(L_0+\frac{T}{k}\bigg)\omega^2.$$

Resolver para $T$ ,

\begin{align} T&=mL_0\omega^2+\frac{m\omega^2}{k}T \\ \Rightarrow T-\frac{m\omega^2}{k}T&=mL_0\omega^2 \\ \Rightarrow T\bigg(1-\frac{m\omega^2}{k}\bigg)&=mL_0\omega^2 \\ \Rightarrow T&=\frac{mL_0\omega^2}{1-\frac{m\omega^2}{k}} \\ \end{align}

Sustituyendo los valores de la pregunta se obtiene,

$$T=\frac{0.5\cdot1\cdot100^2}{1-\frac{0.5\cdot100^2}{10000}}.$$

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Aunque se trata de una respuesta listada, esto no tiene sentido para mí. Sugiere que

(a) La gravedad no tiene ningún efecto.

(b) Cuando $\omega\approx 70.7$ rad/s, la tensión es indefinida. (Debido a la división por cero).

(c) Cuando $\omega$ es mayor que aprox. $70.7$ rad/s, la tensión se vuelve negativa.

A continuación se muestra un gráfico de la ecuación (muy ampliado), procedente de desmos.com:

¿Esto no tiene ningún sentido físico para mí? ¿He cometido un error en alguna parte? Si es así, ¿por qué es un error y cuál es la solución correcta? Si no he cometido ningún error, ¿cómo tiene esto sentido físico? ¿Es el dominio de $\omega$ ¿limitado de alguna manera?

Answer 1

La interpretación de las ecuaciones debe ser coherente con la realidad física. Su gráfico muestra los valores de $T$ y $\omega$ que son -ve; la primera no es realizable, la segunda no tiene sentido.

La tensión en la cuerda viene dada por $T\cos\theta=mg$ . La tensión mínima es $mg$ cuando $\theta=0$ y crece infinitamente como $\theta \to \frac12\pi$ .

Si la cuerda fuera un muelle o una varilla podría estar en compresión, que es una tensión negativa. Esto podría realizarse si la masa girara por encima del punto de suspensión. Sin embargo, con el muelle o la varilla en compresión no puede haber ninguna fuerza centrípeta que mantenga la masa en movimiento en un círculo.

Por lo tanto, $T$ no puede ser negativo y $\theta$ no puede ser mayor que $\frac12\pi$ .

Reordenando su ecuación, la frecuencia angular de las oscilaciones circulares viene dada por
$$\omega^2 = \frac{T(\theta)}{mL(\theta)}=\frac{g}{L_0\cos\theta+\frac{mg}{k}}$$

El menor valor posible de $\omega$ se produce en $\theta \approx 0$ y es $\sqrt{\frac{g}{L_1}}$ que es el mismo que para las pequeñas oscilaciones de un péndulo simple de la longitud no giratoria $L_1=L_0+\frac{mg}{k}$ .

El mayor valor posible de $\omega$ se produce para $\theta=\frac12\pi$ y es $\sqrt{\frac{k}{m}}$ que es el mismo que para las oscilaciones de la cuerda elástica.

Así que sí, el valor de $\omega$ se restringe al rango $\sqrt{\frac{g}{L_1}} \le \omega \le \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Answer 2

Creo que la gravedad tiene su efecto porque aquí $T\cos(\theta)=mg$ . Así que tenemos $\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{mg}{T}\Big)$ . Ahora usted ha señalado $T=10^4 N$ . También podemos calcular el ángulo de inclinación ( $\theta$ ), introduciendo el valor de $m=0.5$ kg y $g=10 m/s^2$ como, $$\theta=\cos^{-1}\bigg(\frac{0.5 \times10}{10^4}\bigg)=\cos^{-1}(0.0005) \sim 90^o$$ Lo que significa que la velocidad angular $\omega$ ¡¡es sorprendentemente alto!! Y creo que eso creará una enorme tensión en el muelle y que es cierto ( $T=10^4$ N, que crean $10^4 m/s^2$ en $1$ kg de masa). Así que la ley de Hooke no es válida aquí y no se puede utilizar la expresión para la longitud final del muelle como $L=L_0+\frac{T}{k}$ .