pruebe que si$p$ es un número primo, entonces$\sqrt{p}$ es un número irracional.

Question

• $\sqrt{p}$ es racional.
• $\sqrt{p}=\frac{a}{b}$, donde$a,b$ son enteros con$\gcd(a,b)=1$.
• $a^2=b^2p$.

Ya que$p$ divide$a^2$,$p$ divide$a$.

• $a=kp$.
• $a^2=k^2p^2=b^2p$
• $p=\frac{b^2}{k^2}\Rightarrow\sqrt{p}=\frac{b}{k}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{k}$
• $b^2=ak\Rightarrow b=\sqrt{ak}$.
• $\sqrt{p}=\frac{a}{b}=\frac{a}{\sqrt{ak}}=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{k}}$ que tiene$\gcd(a,b)=\sqrt{a}\neq 1$, una contradicción.

($a\neq 1$ porque el único número que divide 1 es 1, pero 1 no es un número primo de$a=kp$)

Por lo tanto,$p$ es irracional. ¿Esto es legítimo?

Answer 1

Cada número cuadrado tiene un número par de divisores primos. Por lo tanto, el número de divisores primarios de$a^2$ es incluso donde su número en$pb^2$ es impar.

Answer 2

Puede concluir así, ya que ha supuesto que$gcd(a,b)=1$ al principio, entonces$p$ divide$a$ y$k^2p^2=b^2p$ implica que$pk^2=b^2$ esto implica que$p$ divide$b$ contradicción.

Answer 3

A modo de contradicción, supongamos que$\sqrt{p}$ es racional. Luego existen$a, b \in \mathbb{Z}$ con$b\neq 0$, tal que$\sqrt{p} = \frac{a}{b}$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir$\text{gcd}(a,b) \neq 1$

Podemos hacer esta suposición, porque aún no perdemos generalidad.

Ahora usando$\text{gcd} (a,b) = d \neq 1$. Luego podemos escribir$a = d \cdot a'$ y$b = d \cdot b'$, para algunos enteros primos relativamente$a'$ y$b'$.

Por lo tanto, $$ \ sqrt {p} = \ frac {a} {b} = \ frac {d a '} {d b'} = \ frac {a '} {b'}, $$ Así que hemos demostrado que$\sqrt{p}$ es una relación de dos enteros relativamente primos.