retroceso de la curva normal racional bajo el mapa de Segre

Question

Deje $\nu:P^1 \rightarrow P^2$ ser la veronese mapa de grado $2$, es decir, $[Y_0 : Y_1] \mapsto [Y_0^2 : Y_0 Y_1 : Y_1^2]$ y deje $\sigma: P^1 \times P^2 \rightarrow P^5$ ser el Segre mapa. Considere la posibilidad de la imagen $\mathcal{X}$ de $\sigma \circ \nu$, es decir, la imagen de \begin{align} [X_0:X_1] \times[Y_0:Y_1]\stackrel{\nu}{\mapsto} [X_0:X_1]\times[Y_0^2 : Y_0 Y_1 : Y_1^2]\stackrel{\sigma}{\mapsto}[X_0 Y_0^2: X_0 Y_0 Y_1 : X_0 Y_1^2 : X_1 Y_0^2: X_1 Y_0 Y_1 : X_1 Y_1^2]. \end{align}

A continuación, $\mathcal{X}$ es una variedad proyectiva de $P^5$ dado por $7$ ecuaciones cuadráticas ($3$ para el Segre variedad y $4$ para la imagen de la veronese variedad).

A continuación, vamos a $C_4$ ser el racional de la curva normal, que surge como la imagen de $P^1 \rightarrow P^4$ dada por \begin{align} [W_0 : W_1] \mapsto [W_0^4: W_0^3 W_1: W_0^2 W_1^2 : W_0 W_1^3 : W_1^4]. \end{align}

$C_4$ está dado por $4$ ecuaciones cuadráticas.

Ejercicio 2.28 en Harris (AG-primer curso) dice que $C_4$ puede ser realizado como un hyperplane sección de $\mathcal{X}$. He estado tratando de ver por qué esto es cierto, el trabajo con la retirada de $C_4$ bajo $\sigma$. Más precisamente, para demostrar la declaración de Harris tendría que mostrar que este retroceso está dada por la ecuación de $Y_1^2 - Y_0Y_2=0$, que es el veronese variedad, junto con una forma bilineal en $X_1,X_0$ (coordenadas homogéneas de $P^1$) y $Y_0,Y_1,Y_2$ (coordenadas homogéneas de $P^2$), que correspondería a un hyperplane en $P^5$.

Cuando me tire hacia atrás de las ecuaciones de $C_4$ llego:

$(1): \, X_0^2(Y_1^2-Y_0 Y_2) = 0 \\ (2): \, X_0(X_0 Y_2^2 - X_1 Y_0 Y_1)=0 \\ (3): \, X_1(X_1, Y_0^2 - X_0 Y_1 Y_2)=0.$

Tema 1: La variedad descrita por estas ecuaciones no del todo vivir en la veronese variedad (dado que la ecuación (1) se multiplica por $X_0^2$).

Problema 2: me estoy encontrando difícil creo que las ecuaciones (1)-(3) puede dar la misma variedad de $P^1 \times P^2$ como la dada por $Y_1^2-Y_0 Y_2=0$ junto con una forma bilineal.

Pregunta: ¿Cómo pueden estas dos cuestiones se abordan?

PS: voy a ser feliz, a dar más detalles a petición; no lo hizo en primer lugar para evitar la sobrecarga de la pregunta. También, consejos generales son lo suficientemente bueno para mí, no hay necesidad de entrar en detalles.

******EDITAR************************

Para mayor comodidad se adjunta la descripción de Harris:

Answer 1

Recuerdo que este ejercicio me llevó algunas horas de pensar así ! He encontrado una forma puramente geométrica de la solución que funcionó bien, si no me equivoco : como sugerencia se puede considerar que el $X_{2,2}$ se define como la unión de todas las líneas de la unión de dos isomorfo racional curvas de grado 2 en dos líneas complementarias distintos subespacios de dimensión proyectiva 2 de $\mathbb{P^5}$.

Por ejemplo, si usted desea una solución un poco más analítica, puede ver fácilmente que puede definir $X_{2,2}$ como el conjunto de puntos de $\mathbb{P}^5$ tal que la matriz $$\begin{bmatrix} X_0 & X_1 & X_3 & X_4 \\ X_1 & X_2 & X_4 & X_5 \end{bmatrix}$$ tiene rango uno (se puede ver por qué teniendo en cuenta la descripción geométrica que te di ?). Entonces, si nos fijamos en la hyperplane $[X_2=X_3]$ ¿qué ves ? También puede intersectar con cualquier hyperplane de $\mathbb{P}^5$ no encuentro ninguna línea de la sentencia de la desplácese $X_{2,2}$, usted verá que usted siempre obtendrá una racionales de la curva normal !