- Cómo Integrarse

Question

¿Hay un truco estándar para calcular esta integral para$y\ge 0$?

$\int_{-\infty} ^\infty \frac{\cos(xy)}{x^2+1}dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{y \cos(x)}{x^2+y^2}$

Esperemos que se pueda utilizar el mismo truco para evaluar.

$\int_{-\infty} ^\infty \frac{x\sin(x)}{x^2+y^2}dx$

Wolfram me dice que ambos son iguales a$\pi e^{-y}$

Answer 1

Considere la integral$\Re[\int_\gamma \frac{ae^{iz}}{x^2+a} dz] = \int_\gamma \Re[ \frac{ae^{iz}}{z^2+a}] dz$ donde$\gamma$ es un contorno semicircular de radio$R$. En la línea real, el contorno se reduce a la integral en cuestión. Vemos un residuo en$ia$ con un valor de$2 \pi ia e^{i i a}/(2 i a) = \pi e^{-a}$ al sustituir$ia$ en$\frac{ae^{iz}}{z+ia}$, lo que significa$\Re[\int_\gamma \frac{ae^{iz}}{z^2+a} dz] = \pi e^{-a}$. Tomando el límite a medida que el contorno va hacia el infinito, se obtiene el resultado, ya que la parte semicircular va a cero por el Lema de Jordania.

Para la segunda integral, haga el mismo argumento excepto usando$\Re[\int_\gamma \frac{-ize^{iz}}{z^2+a} dz]$

Answer 2

Una vez que evalúes la primera integral, la segunda se puede encontrar fácilmente observando que

PS

lo que implica

PS