Es el cierre algebraico de $\mathbb Q$ en el campo $\mathbb Q_5$ ¿un campo numérico?

Question

Es el cierre algebraico de $\mathbb Q$ en el campo $\mathbb Q_5$ de $5$ -Los números adicos son un campo numérico, en caso afirmativo, ¿cuál es el grado?

Para ser sincero no entiendo la pregunta, ¿qué significa ser el cierre algebraico de $\mathbb Q$ en el campo $\mathbb Q_5$ ? Quizás $\bar{\mathbb Q}\cap\mathbb Q_5$ ?

en la Wikipedia que vi también;

"El cierre algebraico de un campo $K$ tiene la misma cardinalidad que $K$ si $K$ es infinito, y es contablemente infinito si $K$ es finito".

Por lo tanto, si $\mathbb Q$ no está totalmente contenida en $\mathbb Q_5$ , $\bar{\mathbb Q}\cap\mathbb Q_5$ no puede ser una extensión finita de $\mathbb Q$ ¿Es eso correcto?

Answer 1

En primer lugar, para responder a su preocupación por ser un cierre algebraico en una extensión, tiene razón, $\overline{\Bbb Q}\cap\Bbb Q_5\subseteq\overline{\Bbb Q}_5$ es exactamente el conjunto que está buscando.

Para ver que no estamos tratando con un campo de números, apelamos a la teoría de extensiones cuadráticas de $\Bbb Q$ . Desde $\Bbb Q_5$ es una terminación en un primo impar, sabemos por el lema de Hensel y la reciprocidad cuadrática que para cualquier primo $q\equiv 1\mod 5$ tenemos que $\sqrt{q}\in\Bbb Q_5$ desde

$$\left({q\over 5}\right)=\left({1\over 5}\right)=1.$$

Entonces el teorema de Dirichlet sobre infinitos primos en progresiones aritméticas implica que hay infinitos primos distintos $q_1,q_2,\ldots $ para que $q_i=5k+1$ . Por lo tanto, $\Bbb Q(\sqrt{q_i})\subseteq \Bbb Q_5$ . Pero entonces el cierre algebraico de $\Bbb Q$ en $\Bbb Q_5$ contiene la extensión dimensional infinita $\Bbb Q(q_1,q_2,\ldots)$ por lo que no puede ser un campo numérico, ya que, por definición, los campos numéricos son extensiones algebraicas finitas de $\Bbb Q$ .

Answer 2

Por si no fueran suficientes las excelentes respuestas de Adam Hughes y @benh, voy a dar otro argumento algo parecido al de Adam, pero sin utilizar a Hensel.

Para simplificar, tomemos $p\ne2$ . Mira la expansión binomial de $(1+x)^{1/2}=1+\frac12x- \frac18x^2 + +\frac1{16}x^3 - \frac5{128}x^4 +\cdots\>$ . Verás que los únicos denominadores son potencias de $2$ que son "unidades" en $\Bbb Q_p$ Es decir, $|2|_p=1$ Por lo tanto, los denominadores no tienen nada que ver con el tamaño del coeficiente. Los numeradores, sean los que sean, son números enteros ordinarios, por lo que su $p$ -Los valores absolutos de los ácidos son todos $\le1$ . Ahora bien, si para $x$ sustituyes algo que es pequeño, como $pm$ para cualquier número entero $m$ se obtiene una serie de Cauchy de $(1+x)^{1/2}$ para que la raíz cuadrada de $1+pm$ siempre estará en $\Bbb Q_p$ .

Dos comentarios y lo dejo. Primero, si $q$ es un primo, la serie $(1+x)^{1/q}$ sólo tiene poderes de $q$ en sus denominadores, por lo que para cualquier $p\ne q$ Tendrás $q$ -raíces de $1+pm$ . Así que en $\Bbb Q_2$ , tienes muchas raíces cúbicas de números enteros. En segundo lugar, también se puede demostrar que $(1+4x)^{1/2}$ tiene enteros ordinarios para los coeficientes, por lo que puede dar lo que quieres también, para $\Bbb Q_2$ .

Answer 3

Creo que Adam Hughes ha dado una gran respuesta a tu pregunta inicial. Permítanme tratar de decir un poco más acerca de lo que el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{Q}_5$ es utilizar la teoría algebraica de los números.

Dejemos que $p$ sea cualquier primo, entonces podemos incrustar $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}_p$ . El cierre algebraico $N$ de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{Q}_p$ es entonces la mayor subextensión $\mathbb{Q}_p|N|\mathbb{Q}$ que es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ . Si fijamos un cierre algebraico $\overline{\mathbb{Q}}_p$ de $\mathbb{Q}_p$ , ésta debe contener un cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ y podemos decir $\overline{\mathbb{Q}} \subseteq \overline{\mathbb{Q}}_p$ . Así que las extensiones algebraicas de $\mathbb{Q}_p$ dan lugar a extensiones algebraicas de $\mathbb{Q}$ (o más bien de $N$ ). Pero podemos ir al revés:

Dejemos que $K|\mathbb{Q}$ sea un campo numérico cualquiera y elija un primo $\mathfrak{p}$ del anillo de enteros de $K$ en $p$ . A continuación, la finalización de $K$ en $\mathfrak{p}$ será una extensión finita de $\mathbb{Q}_p$ . Diferentes primos pueden producir diferentes extensiones, pero si $K$ es un campo numérico de Galois, serán isomorfos.

Más concretamente, si $K|\mathbb{Q}$ tiene grupo de Galois $G$ entonces la extensión correspondiente $K_\mathfrak{p}|\mathbb{Q}_p$ será de Galois y su grupo de Galois puede identificarse con el grupo de descomposición de $\mathfrak{p}$ Es decir $D_\mathfrak{p} = \{\sigma \in G| \sigma \mathfrak{p} = \mathfrak{p}\}$ . Por lo tanto, en el límite, podemos identificar $Gal(\overline{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)$ con el grupo de descomposición de un primo de $\overline{\mathbb{Z}}$ (el cierre algebraico de $\mathbb{Z}$ en $\overline{\mathbb{Q}}$ ). Así que la elección de un cierre algebraico al principio era en realidad la elección de un primo $\mathfrak{P}\subseteq \overline{\mathbb{Z}}$ .

Un poco de trabajo muestra que si $e(\mathfrak{p}|p)$ es el índice de ramificación y $f(\mathfrak{p}|p)$ es el grado del residuo, entonces: $$[K_\mathfrak{p}:\mathbb{Q}_p] = e(\mathfrak{p}|p)f(\mathfrak{p}|p).$$

Así que podemos dar una descripción explícita de $N$ el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{Q}_p$ : Es el compositum de todos los campos numéricos $K$ en la que el primo que está debajo de $\mathfrak{P}$ tiene índice de ramificación trivial y grado de residuo en $K|\mathbb{Q}$

En particular, $N$ contiene todos los campos numéricos en los que $p$ es completamente dividido.

Como Adam Hughes señaló de forma mucho más directa que yo, esto incluye todas las extensiones cuadráticas $\mathbb{Q}(\sqrt{d})|\mathbb{Q}$ para lo cual $d\equiv \pm 1 \bmod 5$ y $N$ no puede ser un campo numérico.